Σημεῖα συσσωρεύσεως ριζῶν

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Σημεῖα συσσωρεύσεως ριζῶν

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Τετ Ιουν 28, 2017 6:19 pm

Δίδεται ἡ ἐξίσωση
\displaystyle{ 
x^{(n)}+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_0(t)x=0, 
}
ὅπου a_0,\ldots,a_{n-1} συνεχεῖς στὸ (0,1) καὶ \varphi\in C^n(0,1) μὴ ταυτοτικῶς μηδενικὴ λύση αὐτῆς. Ἄν τὸ \xi ἀποτελεῖ σημεῖο συσσωρεύσεως τῶν ριζῶν τῆς \varphi, τότε δείξατε ὅτι \xi\in\{0,1\}.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3228
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σημεῖα συσσωρεύσεως ριζῶν

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιουν 28, 2017 8:31 pm

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:Δίδεται ἡ ἐξίσωση
\displaystyle{ 
x^{(n)}+a_{n-1}(t)x^{(n-1)}+\cdots+a_0(t)x=0, 
}
ὅπου a_0,\ldots,a_{n-1} συνεχεῖς στὸ (0,1) καὶ \varphi\in C^n(0,1) μὴ ταυτοτικῶς μηδενικὴ λύση αὐτῆς. Ἄν τὸ \xi ἀποτελεῖ σημεῖο συσσωρεύσεως τῶν ριζῶν τῆς \varphi, τότε δείξατε ὅτι \xi\in\{0,1\}.
Είναι σχεδόν το ίδιο με αυτό
viewtopic.php?f=9&t=36998

Επειδή εκεί έδωσα περιγραφική λύση ας δώσω τώρα κανονική.

Εχουμε από το θεωρ. μονοσημάντου για διαφορικές εξισώσεις ότι αν a\in (0,1)

f λύση της διαφορικής εξίσωσης και 0=f(a)=f'(a)=.....=f^{(n-1)}(a)

τότε f(x)=0,x\in (0,1)

Για λόγους κατεδάφισης \xi \equiv a,\varphi \equiv f

Εστω a\in (0,1).Αφού είναι σ.σ υπάρχει (a_{n}) με a_{n}\rightarrow a

και τα a_{n} διαφορετικά ανά δύο.Είναι άλλου παππά ευαγγέλιο ότι μπορούμε περνώντας ίσως σε υπακολουθίες

να πάρουμε ότι η ακολουθία είναι γνησίως μονότονη.

Υποθέτουμε ότι είναι γνησίως φθίνουσα.

Εχουμε 0=f(a_{1})=f(a_{2})=....=f(a_{n})=....

Από Rolle υπάρχουν a_{1}> b_{1}> a_{2}> ...a_{n}> b_{n}> a_{n+1}>

με f'(b_{n})=0

Επειδή b_{n}\rightarrow a και f' συνεχής έχουμε ότι f'(a)=0

συνεχίζοντας παίρνουμε 0=f(a)=f'(a)=.....=f^{(n-1)}(a) οπότε f(x)=0,x\in (0,1)

που είναι ΑΤΟΠΟ

Αρα a=0 η a=1



Αλλος τρόπος είναι να αναπτύξουμε κατά Taylor την f γύρω από το a\in (0,1) και να καταλήξουμε σε ΑΤΟΠΟ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες