Γραμμικὴ ἀπεικόνιση ἐπὶ τοῦ χώρου τῶν συνεχῶν συναρτήσεων

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 556
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Γραμμικὴ ἀπεικόνιση ἐπὶ τοῦ χώρου τῶν συνεχῶν συναρτήσεων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Παρ Ιουν 30, 2017 9:43 pm

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω Χ τὸ σύνολο ὅλων τῶν συνεχῶν συναρτήσεων ἀπὸ τὸ \mathbb R στὸ \mathbb R καὶ \varPhi: X\to X γραμμικὴ ἀπεικόνιση μὲ τὴν ἑξῆς ἰδιότητα. Ἄν οἱ συναρτήσεις f,g\in X ταυτίζονται σὲ κάποιο διάστημα (a,b), τότε καὶ οἱ συναρτήσεις \varPhi(f) καὶ \varPhi(g) ἐπίσης ταυτίζονται στὸ ἴδιο διάστημα (a,b). Δείξατε ὅτι ὑπάρχει συνάρτηση \varphi\in X, ὥστε \varPhi(f)=\varphi f.

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Δὲν ἀπαιτοῦνται ἐργαλεῖα Συναρτησιακῆς Ἀναλύσεως.



Λέξεις Κλειδιά:
BAGGP93
Δημοσιεύσεις: 1353
Εγγραφή: Σάβ Ιούλ 02, 2011 8:48 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα - Αθήνα

Re: Γραμμικὴ ἀπεικόνιση ἐπὶ τοῦ χώρου τῶν συνεχῶν συναρτήσεων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από BAGGP93 » Κυρ Ιούλ 02, 2017 12:28 pm

Γεια χαρά. Συμβολίζουμε \displaystyle{1_{X} τη σταθερή και ίση με \displaystyle{1} συνάρτηση, που είναι στοιχείο του \displaystyle{X} .

Έστω \displaystyle{a\in\mathbb{R}} . Τότε, θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση \displaystyle{c_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,,c_a(x)=a}

Ισχύει, ότι \displaystyle{c_a=a\,1_{X}} , άρα

\displaystyle{\Phi(c_a)(x)=\Phi(a\,1_{X})(x)=(a\,\Phi(1_{X})(x)=\Phi(1_{X})(x)\,a=\Phi(1_{X})(x)\,c_a(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}

απ' όπου έχουμε \displaystyle{\Phi(c_a)=\Phi(1_{X})\,c_a} .

Υποψιαζόμαστε ότι \displaystyle{\phi=\Phi(1_{X})\in X} .

Πράγματι, έστω \displaystyle{f\in X} . Έστω τυχόν \displaystyle{x\in\mathbb{R}} . Ορίζουμε απεικόνιση \displaystyle{g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}} από τη σχέση

\displaystyle{g(t)=\begin{cases} 
                                    f(t)\,\,\,,t\geq x\\ 
                                    f(x)\,\,,t<x 
                                   \end{cases}}

και έχουμε ότι \displaystyle{g\in X} . Από υπόθεση, στο \displaystyle{\left(x,+\infty\right)} έχουμε, \displaystyle{\Phi(f)=\Phi(g)}

και στο \displaystyle{\left(-\infty,x\right)} παίρνουμε \displaystyle{\Phi(g)=\Phi(c_{f(x)})=\Phi(1_{X})\,f(x)} .

Όμως, λόγω συνέχειας των \displaystyle{\Phi(g)\,,\Phi(f)} στο σημείο \displaystyle{t=x} , παίρνουμε

\displaystyle{\lim_{t\to x^{-}}\Phi(g)(t)=\lim_{t\to x^{+}}\Phi(g)(t)\implies \lim_{t\to x^{-}}(\Phi(1_{X})(t)\,f(x))=\lim_{t\to x^{+}}\Phi(f)(t)}

ή \displaystyle{\Phi(1_{X})(x)\,f(x)=\Phi(f)(x)\iff \Phi(f)(x)=\Phi(1_{X})(x)\,f(x)} .

Εφ' όσον το \displaystyle{x} ήταν τυχόν, αποδείξαμε ότι \displaystyle{\Phi(f)(x)=(\Phi(1_{X})\,f)(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}

άρα, \displaystyle{\Phi(f)=\Phi(1_{X})\,f\implies \Phi(f)=\phi\,f} . Επίσης, η \displaystyle{f\in X} ήταν τυχούσα, άρα

\displaystyle{\Phi(f)=\phi\,f\,,\forall\,f\in X} , όπου \displaystyle{\phi=\Phi(1_{X})\in X} .

Σχόλιο : Παρατηρούμε ότι καθοριστικό ρόλο παίζουν οι μονάδες των αλγεβρών \displaystyle{\,\,\,\,\,\mathbb{R}} και \displaystyle{X=C(\mathbb{R})}


Παπαπέτρος Ευάγγελος
Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 556
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Γραμμικὴ ἀπεικόνιση ἐπὶ τοῦ χώρου τῶν συνεχῶν συναρτήσεων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Κυρ Ιούλ 02, 2017 2:05 pm

Σωστά!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: nikos_el και 4 επισκέπτες