mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Παρ Ιουν 30, 2017 9:43 pm**

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Ἔστω

τὸ σύνολο ὅλων τῶν συνεχῶν συναρτήσεων ἀπὸ τὸ $\mathbb R$ στὸ $\mathbb R$ καὶ $\varPhi: X\to X$ γραμμικὴ ἀπεικόνιση μὲ τὴν ἑξῆς ἰδιότητα. Ἄν οἱ συναρτήσεις $f,g\in X$ ταυτίζονται σὲ κάποιο διάστημα (a,b)

, τότε καὶ οἱ συναρτήσεις $\varPhi(f)$ καὶ $\varPhi(g)$ ἐπίσης ταυτίζονται στὸ ἴδιο διάστημα (a,b)

. Δείξατε ὅτι ὑπάρχει συνάρτηση $\varphi\in X$ , ὥστε $\varPhi(f)=\varphi f$ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ. Δὲν ἀπαιτοῦνται ἐργαλεῖα Συναρτησιακῆς Ἀναλύσεως.

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 02, 2017 12:28 pm**

Γεια χαρά. Συμβολίζουμε $\displaystyle{1_{X}$ τη σταθερή και ίση με $\displaystyle{1}$ συνάρτηση, που είναι στοιχείο του $\displaystyle{X}$ .

Έστω $\displaystyle{a\in\mathbb{R}}$ . Τότε, θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση $\displaystyle{c_a:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\,,c_a(x)=a}$

Ισχύει, ότι $\displaystyle{c_a=a\,1_{X}}$ , άρα

$\displaystyle{\Phi(c_a)(x)=\Phi(a\,1_{X})(x)=(a\,\Phi(1_{X})(x)=\Phi(1_{X})(x)\,a=\Phi(1_{X})(x)\,c_a(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$

απ' όπου έχουμε $\displaystyle{\Phi(c_a)=\Phi(1_{X})\,c_a}$ .

Υποψιαζόμαστε ότι $\displaystyle{\phi=\Phi(1_{X})\in X}$ .

Πράγματι, έστω $\displaystyle{f\in X}$ . Έστω τυχόν $\displaystyle{x\in\mathbb{R}}$ . Ορίζουμε απεικόνιση $\displaystyle{g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ από τη σχέση

$\displaystyle{g(t)=\begin{cases} f(t)\,\,\,,t\geq x\\ f(x)\,\,,t<x \end{cases}}$

και έχουμε ότι $\displaystyle{g\in X}$ . Από υπόθεση, στο $\displaystyle{\left(x,+\infty\right)}$ έχουμε, $\displaystyle{\Phi(f)=\Phi(g)}$

και στο $\displaystyle{\left(-\infty,x\right)}$ παίρνουμε $\displaystyle{\Phi(g)=\Phi(c_{f(x)})=\Phi(1_{X})\,f(x)}$ .

Όμως, λόγω συνέχειας των $\displaystyle{\Phi(g)\,,\Phi(f)}$ στο σημείο $\displaystyle{t=x}$ , παίρνουμε

$\displaystyle{\lim_{t\to x^{-}}\Phi(g)(t)=\lim_{t\to x^{+}}\Phi(g)(t)\implies \lim_{t\to x^{-}}(\Phi(1_{X})(t)\,f(x))=\lim_{t\to x^{+}}\Phi(f)(t)}$

ή $\displaystyle{\Phi(1_{X})(x)\,f(x)=\Phi(f)(x)\iff \Phi(f)(x)=\Phi(1_{X})(x)\,f(x)}$ .

Εφ' όσον το $\displaystyle{x}$ ήταν τυχόν, αποδείξαμε ότι $\displaystyle{\Phi(f)(x)=(\Phi(1_{X})\,f)(x)\,,\forall\,x\in\mathbb{R}}$

άρα, $\displaystyle{\Phi(f)=\Phi(1_{X})\,f\implies \Phi(f)=\phi\,f}$ . Επίσης, η $\displaystyle{f\in X}$ ήταν τυχούσα, άρα

$\displaystyle{\Phi(f)=\phi\,f\,,\forall\,f\in X}$ , όπου $\displaystyle{\phi=\Phi(1_{X})\in X}$ .

Σχόλιο : Παρατηρούμε ότι καθοριστικό ρόλο παίζουν οι μονάδες των αλγεβρών $\displaystyle{\,\,\,\,\,\mathbb{R}}$ και $\displaystyle{X=C(\mathbb{R})}$

Δημοσιεύτηκε: **Κυρ Ιούλ 02, 2017 2:05 pm**

Σωστά!

mathematica.gr

Γραμμικὴ ἀπεικόνιση ἐπὶ τοῦ χώρου τῶν συνεχῶν συναρτήσεων

Γραμμικὴ ἀπεικόνιση ἐπὶ τοῦ χώρου τῶν συνεχῶν συναρτήσεων

Re: Γραμμικὴ ἀπεικόνιση ἐπὶ τοῦ χώρου τῶν συνεχῶν συναρτήσεων

Re: Γραμμικὴ ἀπεικόνιση ἐπὶ τοῦ χώρου τῶν συνεχῶν συναρτήσεων