Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Τρί Ιούλ 04, 2017 1:43 am

ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Στὸ χωρίο \,U=\mathbb C\smallsetminus[-1,1] εἶναι δυνατὸν νὰ ὁρισθεῖ ὁλόμορφη συνάρτηση f μὲ τὴν ἱδιότητα \big(f(z)\big)^2=z^2-1, διὰ κάθε z\in U. Συνήθως ἡ f συμβολίζεται ὡς f(z)=\sqrt{z^2-1}. Δείξατε ὅτι ἡ f εἶναι περιττή, δηλαδὴ f(-z)=-f(z), διὰ κάθε z\in U.



Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3237
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 06, 2017 11:30 am

Γ.-Σ. Σμυρλής έγραψε:ΠΡΟΒΛΗΜΑ. Στὸ χωρίο \,U=\mathbb C\smallsetminus[-1,1] εἶναι δυνατὸν νὰ ὁρισθεῖ ὁλόμορφη συνάρτηση f μὲ τὴν ἱδιότητα \big(f(z)\big)^2=z^2-1, διὰ κάθε z\in U. Συνήθως ἡ f συμβολίζεται ὡς f(z)=\sqrt{z^2-1}. Δείξατε ὅτι ἡ f εἶναι περιττή, δηλαδὴ f(-z)=-f(z), διὰ κάθε z\in U.
Το πρόβλημα της ύπαρξης είναι γνωστό στην Μιγαδική Ανάλυση ,αν και αναλυτική του λύση αναφέρεται σε ελάχιστα βιβλία.
Νομίζω ότι αυτό είναι το σημαντικότερο.
Δηλαδή να κατασκευασθεί συνάρτηση που ικανοποιεί τα δεδομένα του προβλήματος.
Μάλιστα η καρδία του προβλήματος είναι να κατασκευασθεί συνεχής συνάρτηση. Η ολομορφία προκύπτει από την συνέχεια σχετικά εύκολα.


Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Πέμ Ιούλ 06, 2017 1:24 pm

Ἡ ὕπαρξη τῆς f(z)=\sqrt{z^2-1} ἐμφανίζεται σχεδὸν σὲ κάθε ἐγχειρίδιο Μιγαδικῆς Ἀναλύσεως. Ὁ κομψότερος τρόπος εἶναι διὰ τῆς χρήσεως τοῦ Λήμματος:

Ἔστω U χωρίο καὶ a,b στὴν ἴδια συνεκτικὴ συνιστῶσα τοῦ \mathbb C\cup\{\infty\}\setminus U. Τότε ὁρίζεται ὡς ὁλὀμορφη συνάρτηση ἡ g(z)=\log(\frac{z-a}{z-b}) στὸ U.

Χάριν τοῦ Λήμματος, ἡ f δύναται νὰ ὁρισθεῖ ὡς
\displaystyle{ 
f(z)=(z+1)\exp\left(\frac{1}{2}\log\Big(\frac{z-1}{z+1}\Big)\right). 
}

Τὸ ἀπολύτως ἀπροσδόκητο ὅμως εἶναι ὅτι ἡ f(z)=\sqrt{z^2-1} εἶναι περιττή!

Πῶς ἀποδεικνύεται αὐτό;


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3237
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 06, 2017 5:04 pm

Αυτή η κομψή κατασκευή δεν δίνει άμεσες πληροφορίες για την συνάρτηση.

Επειδή f^{2}(z)=f^{2}(-z) δηλαδή (f(z)-f(-z))(f(z)+f(-z))=0

η γνωστή αρχή (ταυτότητας η αναλυτικής συνέχισης η...)

δίνει ότι για κάθε z\in U θα είναι f(z)=f(-z)\veebar f(z)=-f(-z)

Θα αποκλείσουμε την πρώτη περίπτωση.
Να σημειώσουμε ότι τέτοιες συναρτήσεις υπάρχουν δύο και η μία είναι αντίθετη της άλλης.Προκύπτει άμεσα από την γνωστή αρχή.

Παίρνουμε αυτή που έχει f(2)=\sqrt{3}

Εστω το χωρίο V με V=\left \{ z\in \mathbb{C}:Imz> 0 \right \}\cup (1,\infty )

Θεωρούμε την g:V\rightarrow \mathbb{C} ως εξής

Αν z=re^{i\theta },0\leq \theta < \pi τότε z^{2}-1=\rho e^{i\varphi },0\leq \varphi < 2\pi

Θέτουμε g(z)=\sqrt{\rho }e^{i\frac{\varphi }{2}}.

Εύκολα βλέπουμε ότι η g είναι ολόμορφη στο εσωτερικό του V συνεχής σε όλο και επιπλέον

g^{2}(z)=z^{2}-1,g(2)=\sqrt{3}

Επειδή στο V έχουμε g^{2}(z)=f^{2}(z) και f(2)=g(2)

η γνωστή αρχή μας δίνει ότι στο V f(z)=g(z)

Επειδή \lim_{z\rightarrow -2}g(z)=-\sqrt{3} χαλάει η συνέχεια της f στο -2.

(f(-2)=f(2)=\sqrt{3})



Η απόδειξη και η σχέση f(z)=-f(-z) μας βοηθάει να ορίσουμε την f ανθρώπινα.

Το μόνο που μένει είναι να την ορίσουμε στο (-\infty ,-1).

Να σημειώσω ότι η συνέχεια της g που εκ κατασκευής είναι προφανής μας δίνει την ολομορφία ως εξης

\lim_{z\rightarrow z_{0}}\dfrac{g(z)-g(z_{0})}{z-z_{0}}=\lim_{z\rightarrow z_{0}}\dfrac{g^{2}(z)-g^{2}(z_{0})}{(z-z_{0})(g(z)+g(z_{0}))}=\frac{z_{0}}{g(z_{0})}

Είναι g(z)\neq 0


Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Πέμ Ιούλ 06, 2017 7:51 pm

Ἂς δώσω τὴν δικὴ μου λύση.

Βῆμα 1ο. Ἡ f εἶναι εἴτε ἀρτία εἴτε περιττή, καθὼς
\displaystyle{ 
\left(\frac{f(-z)}{f(z)}\right)^2=\frac{(-z)^2-1}{z^2-1}=1, 
}
καὶ ἄρα
\displaystyle{ 
\frac{f(-z)}{f(z)}=1, 
}
διὰ κάθε z\in U
\displaystyle{ 
\frac{f(-z)}{f(z)}=-1, 
}
διὰ κάθε z\in U.

Βῆμα 2ο.
\displaystyle{ 
\lim_{z\to\infty}\left(\frac{f(z)}{z}\right)^2=\frac{z^2-1}{z^2}=1 
}
καὶ ἄρα
\displaystyle{ 
\lim_{z\to\infty}\frac{f(z)}{z}=1 
}

\displaystyle{ 
\lim_{z\to\infty}\frac{f(z)}{z}=-1. 
}

Βῆμα 3ο.
\displaystyle{ 
\lim_{z\to\infty}\frac{f(z)}{z}=\lim_{z\to\infty}\frac{f(-z)}{-z}=\pm 1\quad\Longrightarrow\quad 
1=\lim_{z\to\infty}\frac{f(z)}{z}\cdot\frac{-z}{f(-z)}=-\lim_{z\to\infty}\frac{f(z)}{f(-z)}. 
}
Ἄρα \frac{f(z)}{f(-z)}=-1.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3237
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Ιούλ 06, 2017 8:18 pm

Γιώργο αν η f ορίζεται στο \infty

και είναι άρτια εκεί

τότε το \lim_{z\rightarrow \infty }\frac{f(z)}{z}

αν υπάρχει είναι 0 η \infty.

Γιατί \lim_{z\rightarrow \infty }\dfrac{f(z)}{z}=\lim_{z\rightarrow \infty }\dfrac{f(-z)}{-z}=-\lim_{z\rightarrow \infty }\dfrac{f(z)}{z}

Και με αυτό βγαίνει ΑΤΟΠΟ.


Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Πέμ Ιούλ 06, 2017 8:56 pm

Παραλλαγὴ. Ἂν U=\mathbb C\setminus\big((-\infty,1]\cup[1,\infty)\big) καὶ f\in\mathcal H(U), ὥστε f^2(z)=z^2-1, τότε f ἀρτία.


Άβαταρ μέλους
Γ.-Σ. Σμυρλής
Δημοσιεύσεις: 557
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος

Re: Περιττὴ ὁλόμορφη συνάρτηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γ.-Σ. Σμυρλής » Πέμ Ιούλ 06, 2017 9:29 pm

Παρεμπιπτόντως, ἕνας ἄλλος τρόπος νὰ δείξει κανείς ὅτι ἡ
\displaystyle{ 
f(z)=\sqrt{z^2-1}, \quad z\in\mathbb C\setminus[-1,1], 
}
εἶναι περιττή, συνάγεται ἀπὸ τὸν τύπο
\displaystyle{ 
\int_0^{2\pi}\frac{dt}{w+\sin t}=\frac{2\pi}{\sqrt{w^2-1}}, \quad \quad w\in\mathbb C\setminus[-1,1]. 
}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: SemrushBot και 2 επισκέπτες