Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Κυρ Μαρ 07, 2010 4:07 am

Δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί παλιότερα...
Να δειχθεί ότι,
\displaystyle\bf\int_{0}^{\pi}\log(\sin({\color{red}x}))\;d{\color{red}x}=-\pi\cdot \log(2).

-------------------------------------------------------------------
Είμαι περίεργος να δω αν κάποιος έχει κατά νου κάποια <<συμβατική>> μέθοδο.


What's wrong with a Greek in Hamburg?

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
R BORIS
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2236
Εγγραφή: Σάβ Ιαν 03, 2009 8:08 am
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από R BORIS » Κυρ Μαρ 07, 2010 9:46 am

\displaystyle{I=\int_{0}^{\pi}{-ln(\frac{1}{2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}})dx}=-\pi ln2-\int_{0}^{\pi}{ln\frac{1+tan^2\frac{x}{2}}{tan\frac{x}{2}}dx}=-\pi ln2 -A}
με αλλαγή μεταβλητής x=2u
\displaystyle{A=-\int_{0}^{\pi /2}{ln(tanu)du}=-B}
όμως Β=0 διότι B=-B μετά τις διαδοχικές αλλαγές u=1/y , y=π/2-t (ln1/y=-lny) ,tan(π/2-u)=1/(tanu)
Πρέπει να ασχοληθούμε με την σύγκλιση του γενικευμένου αλλά αργότερα


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Κυρ Μαρ 07, 2010 7:51 pm

\int\limits_0^\pi  {\ln \left( {\eta \mu x} \right)dx = } \int\limits_0^\pi  {\ln \left( {2\eta \mu \frac{x} 
{2}\sigma \upsilon \nu \frac{x} 
{2}} \right)dx = ... = } \pi \ln 2 + 2\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\eta \mu x} \right)dx + 2\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)dx} .}
Αποδεικνύεται εύκολα (συμπληρωματικά τόξα κ.τ.λ.) ότι:
\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\eta \mu x} \right)} dx = \int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)} dx =  - \frac{\pi } 
{2}\ln 2 \Rightarrow \int\limits_0^\pi  {\ln \left( {\eta \mu x} \right)} dx = ... = -\pi \ln 2.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Δευ Μαρ 08, 2010 11:27 pm

Ας δώσω το έναυσμα για έναν άλλο τρόπο.
Θα πρέπει χρησιμοποιώντας το παρακάτω σχήμα να ολοκληρώσουμε <<κάποια συνάρτηση>> και να αφήσουμε το \displaystyle{\bf Y\rightarrow +\infty}.
Συνημμένα
pp.png
pp.png (23.7 KiB) Προβλήθηκε 932 φορές


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5428
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Τρί Μαρ 09, 2010 9:37 am

Θα ήθελα να ανοίξω, λίγο την παρέμβαση μου ώστε να προαχθεί και ένα είδος μεθοδολογίας για ευρύτερες εφαρμογές.
Το όλο ΄΄κόλπο΄΄ για την επίλυση του Βασικού αυτού θέματος είναι να κατανοήσουμε την Γενική Βασική μέθοδο-θεωρία που στηρίζεται στον τύπο:
\int\limits_\alpha ^\beta  {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_\alpha ^\beta  {f\left( {\alpha  + \beta  - x} \right)dx} .
Αυτό είναι πολύ σημαντικό για τριγωνομετρικές εκφράσεις όπου έχουμε και την μετατροπή του ημ. σε συν. μέσω των συμπληρωματικών τόξων. Επομένως με βάση τον παραπάνω τύπο μπορούμε να πάρουμε:
{\rm I} = \int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\eta \mu x} \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\eta \mu \left( {\frac{\pi } 
{2} - x} \right)} \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\sigma \upsilon \nu x} \right)} dx \Rightarrow
(*) 2{\rm I} = \int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\frac{{\eta \mu 2x}} 
{2}} \right)dx}  = \int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\eta \mu 2x} \right)dx}  - \frac{{\pi \ln 2}} 
{2} \Rightarrow 2{\rm I} = \frac{1} 
{2}\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\eta \mu x} \right)dx}  - \frac{{\pi \ln 2}} 
{2} \Rightarrow
2{\rm I} = \frac{1} 
{2}\left( {\int\limits_0^{\frac{\pi } 
{2}} {\ln \left( {\eta \mu x} \right)dx}  + \int\limits_{\frac{\pi } 
{2}}^\pi  {\ln \left( {\eta \mu x} \right)dx} } \right) - \frac{{\pi \ln 2}} 
{2} \Rightarrow
2{\rm I} = \frac{{\rm I}} 
{2} - \frac{{\rm I}} 
{2}\int\limits_{\frac{\pi } 
{2}}^\pi  {\ln \left( {\eta \mu \left( {\pi  - x} \right)} \right)dx}  - \frac{{\pi \ln 2}} 
{2} \Rightarrow 2{\rm I} = {\rm I} - \frac{{\pi \ln 2}} 
{2} \Rightarrow {\rm I} =  - \frac{{\pi \ln 2}} 
{2}.
(*)Λάβαμε, βέβαια, υπ΄όψη την βασική ιδιότητα lnA+lnB=lnAB.

_ Θεωρώ (πάντα υπό κρίση) οτι ισχύει το εξής: Επειδή η μέσα συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα (0,π) και επειδή έχουμε ολοκλήρωση κατά Riemman
Και επειδή το ολοκλήρωμα \int\limits_0^\pi  {\ln \left( {\eta \mu x} \right)dx} ,υπάρχει πράγμα που είναι ΓΕΓΟΝΟΣ καθότι
\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} x^r \ln \left( {\eta \mu x} \right) = 0,0<r < 1
μπορούμε να εργαστούμε κατά τον τρόπο που ανέφερα.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 09, 2010 2:16 pm

Μάλλον ο Γιώργος ζητούσε την πιο κάτω προσέγγιση:

Θεωρούμε την συνάρτηση f(z) = \log(\sin(z)) όπου το z ανήκει πάνω ή μέσα στην καμπύλη του σχήματος του Γιώργου.

Επειδή \sin(x+iy) = \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y), το \sin(z) δεν ανήκει ποτέ στο διάστημα (-\infty,0]. Άρα μπορούμε πράγματι να ορίσουμε τον μιγαδικό λογάριθμο του \sin(z) σε αυτό το χωρίο και η συνάρτηση είναι ολομορφική.

Έστω C_1 η ευθεία από το \varepsilon στο \pi - \varepsilon.
Έστω C_2 η ευθεία από το \pi + i\varepsilon στο \pi + iY.
Έστω C_3 η ευθεία από το \pi + iY στο iY.
Έστω C_4 η ευθεία από το iY στο i\varepsilon.
Έστω C_5 το τεταρτοκύκλιο από το i\varepsilon στο \varepsilon.
Έστω C_6 το τεταρτοκύκλιο από το \pi - \varepsilon στο \pi + i\varepsilon.

Από το θεώρημα του Cauchy έχουμε \displaystyle{ 0 = \int_{C_1} f(z) \; dz + \cdots + \int_{C_6} f(z) \; dz }

Για αρκετά μικρό ε και αρκετά μεγάλο Y βρίσκω

\int_{C_1} f(z) \; dz \approx \int_0^{\pi} \log(\sin(x)) \; dx.
\int_{C_2} f(z) \; dz + \int_{C_4} f(z) \; dz \approx -\pi Y i.
\int_{C_3} f(z) \; dz \approx \pi \log(2) - \pi Y.
\int_{C_5} f(z) \; dz  \approx 0.
\int_{C_6} f(z) \; dz  \approx 0.

Δεν βλέπω όμως που κάνω λάθος. :cry:


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τρί Μαρ 09, 2010 5:04 pm

Δημήτρη αυτά που γράφεις είναι σωστά αλλά το ολοκλήρωμα δεν βγαίνει έτσι. Δοκίμασε κάνοντας την αντικατάσταση \displaystyle{\bf \sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}{\color{red}\Longrightarrow}2ie^{ix}\sin(x)=e^{2ix}-1} και δες τι γίνεται με την \displaystyle{\bf f(x)=\log(e^{2ix}-1)} ολοκληρώνοντας επί του συνόρου του "ατελούς" τετραγώνου.

ΥΓ
Σωτήρη ενδιαφέροντα αυτά που έγραψες παραπάνω......


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τρί Μαρ 09, 2010 7:28 pm

Ωmega Man έγραψε:Δημήτρη αυτά που γράφεις είναι σωστά αλλά το ολοκλήρωμα δεν βγαίνει έτσι.
Δεν γίνεται αυτά που γράφω να είναι σωστά. Δεν λέω πως απαραίτητα θα βγαίνει το ολοκλήρωμα με αυτό τον τρόπο αλλά σίγουρα κάπου υπάρχει λάθος. Το οποίο όμως εξακολουθώ να μην βλέπω.

Θα δώσω την λύση με τον τρόπο που προτείνεις αργότερα αν δεν με προλάβει κάποιος άλλος.


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τρί Μαρ 09, 2010 7:55 pm

Θεωρούμε την συνάρτηση f(z) = \log(\sin(z)) όπου το z ανήκει πάνω ή μέσα στην καμπύλη του σχήματος του Γιώργου.

Επειδή \sin(x+iy) = \sin(x)\cosh(y) + i\cos(x)\sinh(y), το \sin(z) δεν ανήκει ποτέ στο διάστημα (-\infty,0]. Άρα μπορούμε πράγματι να ορίσουμε τον μιγαδικό λογάριθμο του \sin(z) σε αυτό το χωρίο και η συνάρτηση είναι ολομορφική.

Έστω C_1 η ευθεία από το \varepsilon στο \pi - \varepsilon.
Έστω C_2 η ευθεία από το \pi + i\varepsilon στο \pi + iY.
Έστω C_3 η ευθεία από το \pi + iY στο iY.
Έστω C_4 η ευθεία από το iY στο i\varepsilon.
Έστω C_5 το τεταρτοκύκλιο από το i\varepsilon στο \varepsilon.
Έστω C_6 το τεταρτοκύκλιο από το \pi - \varepsilon στο \pi + i\varepsilon.

Από το θεώρημα του Cauchy έχουμε \displaystyle{ 0 = \int_{C_1} f(z) \; dz + \cdots + \int_{C_6} f(z) \; dz }
μέχρι εδώ είναι σωστό αυτό που έγραψες πάντως. (θεωρητικά , όχι για τον υπολογισμό του ζητούμενου)


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
mathxl
Δημοσιεύσεις: 6736
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 3:49 pm
Τοποθεσία: Σιδηρόκαστρο
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mathxl » Τρί Μαρ 09, 2010 11:40 pm

Έχει συζητηθεί παρόμοιο εδώ viewtopic.php?f=9&t=1185


Ποτε δεν κάνω λάθος! Μια φορά νομιζα πως είχα κάνει, αλλά τελικά έκανα λάθος!
Απ' τα τσακάλια δεν γλυτώνεις μ' ευχές η παρακάλια. Κ. Βάρναλης
Aπέναντι στις αξίες σου να είσαι ανυποχώρητος

Ενεργό μέλος από 23-12-2008 ως και 17-8-2014 (δεν θα απαντήσω σε πμ)
Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τρί Μαρ 09, 2010 11:48 pm

Βασίλη ναι είναι παρόμοιο... γιαυτό έβαλα και ένα "δεν ξέρω αν έχει συζητηθεί"...αλλά με τον παραπάνω τρόπο δεν είδα κάποια προσέγγιση επομένως θα δώσουμε άλλον ένα τρόπο λύσης.


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 8447
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Μαρ 10, 2010 12:24 am

Ας βάλω λοιπόν μια λύση με τον τρόπο που προτείνει ο Γιώργος. Παρατηρούμε ότι για z μέσα η πάνω στην καμπύλη έχουμε e^{2iz} - 1 \notin [0,\infty). Ορίζουμε τον λογάριθμο του z για z \notin [0,+\infty) παίρνοντας \arg(z) \in (0,2\pi) και θέτουμε f(z) = \log(e^{2iz} - 1). Τότε

\displaystyle{ \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{C_1}f(z) \;dz = \int_0^{\pi} \log(e^{2ix} - 1) \;dx = \int_0^{\pi} \log(2\sin{x}) \;dx + i\int_0^{\pi} (x + \pi/2) \; dx = \pi \log{2} + \int_0^{\pi} \log{(\sin{x})} \; dx + \pi^2}

\displaystyle{\int_{C_2} + \int_{C_4} f(z) \; dz = 0}

\displaystyle{ \int_{C_3} f(z) \; dz = \int_{\pi}^0 \log|2e^{-Y}\sin(x+iY)| \; dx + i\int_{\pi}^0 \arg(ie^{ix}\sin(x+iY)) \; dx}

Αλλά e^{-Y}\sin(x+iY) = e^{ix}e^{-2Y} - e^{-ix} \to -e^{-ix} και άρα \lim_{Y \to \infty} \int_{\pi}^0 \log|2e^{-Y}\sin(x+iY)| \; dx = 0.

Επίσης \arg(ie^{ix}\sin(x+iY)) \to \pi και άρα \lim_{Y \to \infty} \arg(ie^{ix}\sin(x+iY)) \; dx  = -\pi^2

Επίσης

\displaystyle{ \left| \int_{C_5} f(z) \; dz \right| = \left| \int_{-\pi/2}^0 \log{(e^{2i\varepsilon e^{i\theta}} - 1)} i \varepsilon e^{i\theta} \; d\theta \right| \leqslant \frac{1}{2} \varepsilon \pi \max\limits_{\theta} |\log{(e^{2i\varepsilon e^{i\theta}} - 1)}| \leqslant \frac{1}{2} \varepsilon \pi \left( \max\limits_{\theta}|\log|e^{2i\varepsilon \cos(\theta)} e^{-2\varepsilon\sin(\theta)} - 1||}+2\pi\right)}

Όμως \min_{\theta \in [0,\pi/2]} |e^{2i\varepsilon \cos(\theta)} e^{-2\varepsilon\sin(\theta)} - 1| = C \varepsilon για κάποια σταθερά C.

Άρα \displaystyle{ \int_{C_5} f(z) \; dz \to 0}. Ομοίως \displaystyle{ \int_{C_6} f(z) \; dz \to 0}.

Άρα από το θεώρημα του Cauchy παίρνουμε \displaystyle{\int_0^{\pi} \log(\sin(x)) \; dx = -\pi \log{2}.}


Ωmega Man
Δημοσιεύσεις: 1264
Εγγραφή: Παρ Ιουν 05, 2009 8:17 am

Re: Ενδιαφέρον Ολοκλήρωμα.

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ωmega Man » Τετ Μαρ 10, 2010 12:26 am

Μπράβο Δημήτρη πολύ καλό και αναλυτικότατο!!


What's wrong with a Greek in Hamburg?
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες