Απλοποίηση τιμών Γάμμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Απoδείξατε ότι
$\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\frac{1}{10}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{15}\right)\Gamma\left(\frac{7}{15}\right)} = \frac{\sqrt{5}+1}{3^{1/10} 2^{6/5} \sqrt{\pi}}}$

pprime · #2

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Απoδείξατε ότι
$\displaystyle{\frac{\Gamma\left(\frac{1}{10}\right)}{\Gamma\left(\frac{2}{15}\right)\Gamma\left(\frac{7}{15}\right)} = \frac{\sqrt{5}+1}{3^{1/10} 2^{6/5} \sqrt{\pi}}}$

$\displaystyle{\frac{\Gamma \left( \frac{1}{10} \right)}{\Gamma \left( \frac{2}{15} \right)\cdot \Gamma \left( \frac{7}{15} \right)}=\frac{\varphi }{\sqrt[10]{12}\cdot \sqrt{\pi }}}$

$\displaystyle{\Gamma \left( 3z \right)=\frac{3^{3z-\frac{1}{2}}}{2\pi }\cdot \Gamma \left( z \right)\cdot \Gamma \left( z+\frac{1}{3} \right)\cdot \Gamma \left( z+\frac{2}{3} \right)}$

$\displaystyle{\Gamma \left( \frac{2}{5} \right)=\frac{3^{\frac{2}{5}-\frac{1}{2}}}{2\pi }\cdot \Gamma \left( \frac{2}{15} \right)\cdot \Gamma \left( \frac{2}{15}+\frac{1}{3} \right)\cdot \Gamma \left( \frac{2}{15}+\frac{2}{3} \right)=\frac{\Gamma \left( \frac{4}{5} \right)}{2\pi \cdot \sqrt[10]{3}}\cdot \Gamma \left( \frac{2}{15} \right)\cdot \Gamma \left( \frac{7}{15} \right)}$

$\displaystyle{\frac{\Gamma \left( \frac{1}{10} \right)}{\Gamma \left( \frac{2}{15} \right)\cdot \Gamma \left( \frac{7}{15} \right)}=\frac{\Gamma \left( \frac{1}{10} \right)\cdot \Gamma \left( \frac{4}{5} \right)}{\Gamma \left( \frac{2}{5} \right)}\cdot \frac{1}{2\pi \sqrt[10]{3}}=\frac{\Gamma \left( \frac{1}{10} \right)\cdot \left( \frac{1}{\sqrt[5]{2}\cdot \sqrt{\pi }}\cdot \Gamma \left( \frac{2}{5} \right)\cdot \Gamma \left( \frac{9}{10} \right) \right)}{\Gamma \left( \frac{2}{5} \right)}\cdot \frac{1}{2\pi \sqrt[10]{3}}}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2\pi \sqrt[10]{3}}\cdot \frac{1}{\sqrt[5]{2}\cdot \sqrt{\pi }}\cdot \Gamma \left( \frac{9}{10} \right)\cdot \Gamma \left( \frac{1}{10} \right)=\frac{1}{2\sqrt[10]{12}\cdot \pi \sqrt{\pi }}\cdot \Gamma \left( 1-\frac{1}{10} \right)\cdot \Gamma \left( \frac{1}{10} \right)}$

$\displaystyle{=\frac{1}{2\sqrt[10]{12}\cdot \pi \sqrt{\pi }}\cdot \frac{\pi }{\sin \frac{\pi }{10}}=\frac{1}{2\sqrt[10]{12}\cdot \sqrt{\pi }}\cdot \frac{4}{\sqrt{5}-1}=\frac{1}{\sqrt[10]{12}\cdot \sqrt{\pi }}\cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\varphi }{\sqrt[10]{12}\cdot \sqrt{\pi }}}$

Απλοποίηση τιμών Γάμμα

Απλοποίηση τιμών Γάμμα

Re: Απλοποίηση τιμών Γάμμα

Μέλη σε σύνδεση