μικρότερη δυνατή απόσταση

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
pprime
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 16, 2014 1:54 am

μικρότερη δυνατή απόσταση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pprime » Πέμ Ιούλ 27, 2017 8:38 pm

Ας είναι S μια κυλινδρική επιφάνεια στον χώρο. Θεωρούμε δύο διακριτά σημεία A και B στον χώρο, ώστε κανένα από αυτά να μην βρίσκεται στην επιφάνεια S. Βρείτε ένα σημείο P στην επιφάνεια S, έτσι ώστε το άθροισμα των μηκών των τμημάτων AP και PB να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο.
:coolspeak:
τελευταία επεξεργασία από grigkost σε Πέμ Ιούλ 27, 2017 8:53 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: διόρθωση συντακτικού, LaTeX



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: μικρότερη δυνατή απόσταση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Ιούλ 28, 2017 1:18 pm

pprime έγραψε:Ας είναι S μια κυλινδρική επιφάνεια στον χώρο. Θεωρούμε δύο διακριτά σημεία A και B στον χώρο, ώστε κανένα από αυτά να μην βρίσκεται στην επιφάνεια S. Βρείτε ένα σημείο P στην επιφάνεια S, έτσι ώστε το άθροισμα των μηκών των τμημάτων AP και PB να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο.
:coolspeak:
Η εύρεση ελάχιστης τιμής του αθροίσματος μηκών των τμημάτων AP και PB μπορεί να βρεθεί με την μέθοδο πολλαπλασιαστών Lagrange (δεν είναι δύσκολο). Όμως η συνθήκη (περιορισμός) των μεταβλητών προέρχεται από την εξίσωση της κυλινδρικής επιφάνειας.
Το ότι η επιφάνεια είναι (απλώς) κυλινδρική οδηγεί σε εκτεταμένες γενικότητες.
Αν έδινες την εξίσωση της επιφάνειας θα βοηθούσε πολύ.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10228
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: μικρότερη δυνατή απόσταση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Ιούλ 28, 2017 7:16 pm

Γρηγόρη, υποθέω ότι με τον όρο
pprime έγραψε:Ας είναι S μια κυλινδρική επιφάνεια στον χώρο...
εννοεί επιφάνεια κυλίνδρου και όχι την γενική κυλινδρική επιφάνεια. Αλλιώς, όπως λες, χαθήκαμε. Έτσι χωρίς βλάβη η εξίσωσή της είναι x^2+y^2=r^2, που τώρα κάνει το πρόβλημα προσιτό με πολλαπλασιαστές Lagrange, αν και πάλι οι πράξεις φαίνονται μεγαλούτσικες (δεν το έκανα).


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: μικρότερη δυνατή απόσταση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Σάβ Ιούλ 29, 2017 10:33 am

Ακόμα και με την υπόθεση ότι η κυλινδρική επιφάνεια S είναι ο κύλινδρος x^2+y^2=R^2 το σύστημα που προκύπτει δεν φαίνεται εύκολα επιλύσιμο.

Στο προκείμενο: Έστω A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2) τα (σταθερά) σημεία εκτός του κυλίνδρου και P(x,y,z) το ζητούμενο σημείο του κυλίνδρου. Αρκεί να βρεθεί το ολικό ελάχιστο για την συνάρτηση f:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R} με
f(x,y,z)=\|PA\|+\|PB\|=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}+\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}\,. με τον περιορισμό x^2+y^2=R^2.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις \begin{aligned} 
g&:S\subset\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}\;;\quad g(x,y,z)=x^2+y^2-R^2\,, \\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
F&:S\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^{4}\longrightarrow\mathbb{R}\;;\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
F(x,y,z,\lambda)&=\lambda\,g(x,y,z)-f(x,y,z)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\lambda\,(x^2+y^2-R^2)-\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}\,-\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
 &\hspace{4.0cm}\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}\,. 
\end{aligned} και αναζητούμε τις λύσεις (x,y,z,\lambda) του συστήματος
\begin{aligned} 
&{\rm{grad}}\,F(x,y,z,\lambda)=(0,0,0,0)\quad\Longrightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&\left\{{\begin{array}{r} 
	2\lambda\,x-\frac{x-x_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}}-\frac{x-x_2}{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}}=0\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
	2\lambda\,y-\frac{y-y_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}}-\frac{y-y_2}{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}}=0\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
	-\frac{z-z_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}}-\frac{z-z_2}{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}}=0\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
	x^2+y^2-R^2=0\end{array}}\right\}\quad(\Sigma) 
\end{aligned} Αναζητούνται, βέβαια, οι λύσεις του συστήματος (\Sigma).


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Άβαταρ μέλους
pprime
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 16, 2014 1:54 am

Re: μικρότερη δυνατή απόσταση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pprime » Κυρ Ιούλ 30, 2017 5:51 am

grigkost έγραψε:Ακόμα και με την υπόθεση ότι η κυλινδρική επιφάνεια S είναι ο κύλινδρος x^2+y^2=R^2 το σύστημα που προκύπτει δεν φαίνεται εύκολα επιλύσιμο.

Στο προκείμενο: Έστω A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2) τα (σταθερά) σημεία εκτός του κυλίνδρου και P(x,y,z) το ζητούμενο σημείο του κυλίνδρου. Αρκεί να βρεθεί το ολικό ελάχιστο για την συνάρτηση f:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R} με
f(x,y,z)=\|PA\|+\|PB\|=\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}+\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}\,. με τον περιορισμό x^2+y^2=R^2.

Θεωρούμε τις συναρτήσεις \begin{aligned} 
g&:S\subset\mathbb{R}^{3}\longrightarrow\mathbb{R}\;;\quad g(x,y,z)=x^2+y^2-R^2\,, \\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
F&:S\times\mathbb{R}\subset\mathbb{R}^{4}\longrightarrow\mathbb{R}\;;\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
F(x,y,z,\lambda)&=\lambda\,g(x,y,z)-f(x,y,z)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&=\lambda\,(x^2+y^2-R^2)-\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}\,-\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
 &\hspace{4.0cm}\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}\,. 
\end{aligned} και αναζητούμε τις λύσεις (x,y,z,\lambda) του συστήματος
\begin{aligned} 
&{\rm{grad}}\,F(x,y,z,\lambda)=(0,0,0,0)\quad\Longrightarrow\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
&\left\{{\begin{array}{r} 
	2\lambda\,x-\frac{x-x_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}}-\frac{x-x_2}{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}}=0\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
	2\lambda\,y-\frac{y-y_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}}-\frac{y-y_2}{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}}=0\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
	-\frac{z-z_1}{\sqrt{(x-x_1)^2+(y-y_1)^2+(z-z_1)^2}}-\frac{z-z_2}{\sqrt{(x-x_2)^2+(y-y_2)^2+(z-z_2)^2}}=0\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
	x^2+y^2-R^2=0\end{array}}\right\}\quad(\Sigma) 
\end{aligned} Αναζητούνται, βέβαια, οι λύσεις του συστήματος (\Sigma).
λύση;
Το αποτέλεσμα είναι κάτι εντελώς χαοτική
\displaystyle{\frac{xy-yx_{1}}{\sqrt{\left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2}+\left( z-z_{1} \right)^{2}}}+\frac{xy-yx_{2}}{\sqrt{\left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2}}}=2\lambda xy}

\displaystyle{\frac{xy-xy_{1}}{\sqrt{\left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2}+\left( z-z_{1} \right)^{2}}}+\frac{xy-xy_{2}}{\sqrt{\left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2}}}=2\lambda xy}

\displaystyle{\frac{z-z_{1}}{\sqrt{\left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2}+\left( z-z_{1} \right)^{2}}}+\frac{z-z_{2}}{\sqrt{\left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2}}}=0}

\displaystyle{x^{2}+y^{2}=R^{2}}
.........................................

\displaystyle{\frac{xy_{1}-yx_{1}}{\sqrt{\left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2}+\left( z-z_{1} \right)^{2}}}+\frac{xy_{2}-yx_{2}}{\sqrt{\left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2}}}=0}

\displaystyle{\frac{z-z_{1}}{\sqrt{\left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2}+\left( z-z_{1} \right)^{2}}}+\frac{z-z_{2}}{\sqrt{\left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2}}}=0}

\displaystyle{x^{2}+y^{2}=R^{2}}
.........................................

\displaystyle{\left( xy_{1}-yx_{1} \right)^{2}\left( \left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2} \right)=\left( xy_{2}-yx_{2} \right)^{2}\left( \left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2}+\left( z-z_{1} \right)^{2} \right)}

\displaystyle{\left( z-z_{1} \right)^{2}\left( \left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2} \right)=\left( z-z_{2} \right)^{2}\left( \left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2}+\left( z-z_{1} \right)^{2} \right)}

\displaystyle{x^{2}+y^{2}=R^{2}}
...........................................

\displaystyle{\left( xy_{1}-yx_{1} \right)^{2}\left( z-z_{2} \right)^{2}\left( \left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2} \right)=\left( xy_{2}-yx_{2} \right)^{2}\left( z-z_{2} \right)^{2}\left( \left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2}+\left( z-z_{1} \right)^{2} \right)}

\displaystyle{\left( xy_{2}-yx_{2} \right)^{2}\left( z-z_{1} \right)^{2}\left( \left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2} \right)=\left( xy_{2}-yx_{2} \right)^{2}\left( z-z_{2} \right)^{2}\left( \left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2}+\left( z-z_{1} \right)^{2} \right)}

\displaystyle{x^{2}+y^{2}=R^{2}}
...........................................

\displaystyle{\left( z-z_{1} \right)^{2}\left( xy_{2}-yx_{2} \right)^{2}\left( \left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2} \right)=\left( z-z_{2} \right)^{2}\left( xy_{1}-yx_{1} \right)^{2}\left( \left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2} \right)}

\displaystyle{x^{2}+y^{2}=R^{2}}
...........................................

\displaystyle{\left( \left( z-z_{1} \right)^{2}\left( xy_{2}-yx_{2} \right)^{2}-\left( z-z_{2} \right)^{2}\left( xy_{1}-yx_{1} \right)^{2} \right)\left( \left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2} \right)=0}

\displaystyle{\left( \left( z-z_{1} \right)\left( xy_{2}-yx_{2} \right)-\left( z-z_{2} \right)\left( xy_{1}-yx_{1} \right) \right)\left( \left( z-z_{1} \right)\left( xy_{2}-yx_{2} \right)+\left( z-z_{2} \right)\left( xy_{1}-yx_{1} \right) \right)\left( \left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2} \right)=0}

\displaystyle{\left( z-z_{1} \right)\left( xy_{2}-yx_{2} \right)-\left( z-z_{2} \right)\left( xy_{1}-yx_{1} \right)=0}

\displaystyle{\left( z-z_{1} \right)\left( xy_{2}-yx_{2} \right)+\left( z-z_{2} \right)\left( xy_{1}-yx_{1} \right)=0}

\displaystyle{\left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2}+\left( z-z_{2} \right)^{2}=0}
..........................................

\displaystyle{\left( zxy_{2}-yzx_{2}-xy_{2}z_{1}+yz_{1}x_{2} \right)-\left( zxy_{1}-yzx_{1}-xy_{1}z_{2}+yz_{2}x_{1} \right)=0}

\displaystyle{\left( zxy_{2}-yzx_{2}-zxy_{1}+yzx_{1} \right)+\left( -xy_{2}z_{1}+yz_{1}x_{2}+xy_{1}z_{2}-yz_{2}x_{1} \right)=0}

\displaystyle{z=\frac{x\left( y_{2}z_{1}-y_{1}z_{2} \right)+y\left( z_{2}x_{1}-z_{1}x_{2} \right)}{x\left( y_{2}-y_{1} \right)+y\left( x_{1}-x_{2} \right)}}
...........................................

\left( \left( xy_{1}-yx_{1} \right)^{2}\left( \left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2} \right)-\left( xy_{2}-yx_{2} \right)^{2}\left( \left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2} \right) \right)\left( x\left( y_{2}-y_{1} \right)+y\left( x_{1}-x_{2} \right) \right)^{2}=0

\left( xy_{1}-yx_{1} \right)^{2}\left( \left( x-x_{2} \right)^{2}+\left( y-y_{2} \right)^{2} \right)-\left( xy_{2}-yx_{2} \right)^{2}\left( \left( x-x_{1} \right)^{2}+\left( y-y_{1} \right)^{2} \right)

:helpsmilie: :helpsmilie: :helpsmilie: :helpsmilie: :helpsmilie:


Άβαταρ μέλους
pprime
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 16, 2014 1:54 am

Re: μικρότερη δυνατή απόσταση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pprime » Κυρ Ιούλ 30, 2017 5:54 am

Ισχύει ότι η γεωδαισιακή (δηλαδή, η συντομότερη γραμμή που συνδέει δύο σημεία επί μιας επιφάνειας) ενός κυκλικού κυλίνδρου είναι ένα τμήμα μιας έλικας.
Βοηθάει αυτό το αποτέλεσμα;

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencia ... node2.html


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2652
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: μικρότερη δυνατή απόσταση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Κυρ Ιούλ 30, 2017 8:10 am

pprime έγραψε:Ισχύει ότι η γεωδαισιακή (δηλαδή, η συντομότερη γραμμή που συνδέει δύο σημεία επί μιας επιφάνειας) ενός κυκλικού κυλίνδρου είναι ένα τμήμα μιας έλικας.
Βοηθάει αυτό το αποτέλεσμα;

https://www.uam.es/personal_pdi/ciencia ... node2.html
Δεν νομίζω ότι βοηθάει, αφού το πρόβλημα σχετίζεται με τις αποστάσεις δυο σημείων εκτός του κυλίνδρου και ενός (που ζητείται) επί του κυλίνδρου και όχι για "αποστάσεις" μεταξύ σημείων επί της επιφάνειας.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Από την (εν μέρει) επίλυση του συστήματος παραπάνω, αν μπορούσαμε να προσδιορίσουμε το (μοναδικό; ) επίπεδο που θα πρέπει να βρίσκονται τα σημεία A, B και P, θα περιορίζαμε το πρόβλημα, από τις τρεις διαστάσεις σε δυο. Δεν το έχω προσπαθήσει όμως...

NOTE: From the (partial) solution of the system above, if we could determine the (unique?) plane where the points A, B and P should lie, the problem would reduced, from three dimensions to two. I have not tried it though ...


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης