άθροισμα n·arccot(n)

Tolaso J Kos · #2

pprime έγραψε: $\displaystyle{\sum\limits_{n=1}^{+\infty }{\left( n\cot ^{-1}n-1 \right)}=\frac{1}{2}+\frac{17}{24}\pi -\frac{1}{2}\ln \left( e^{2\pi }-1 \right)+\frac{1}{4\pi }Li_{2}\left( \frac{1}{e^{2\pi }} \right)}$

Θεωρούμε δεδομένο την ακόλουθη ταυτότητα
$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+x^2} = \frac{\pi \coth \pi x}{2x} - \frac{1}{2x^2}}$ Οπότε
$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( n {\rm arccot} (n) - 1 \right ) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left [ n \arctan \left ( \frac{1}{n} \right ) -1 \right ] \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left ( n \int_{0}^{1/n} \frac{{\rm d}x}{1+x^2} - 1 \right )\\ &=-\sum_{n=1}^{\infty} n \int_{0}^{1/n} \frac{x^2}{1+x^2} \, {\rm d}x \\ &= -\sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{1} \frac{x^2}{n^2+x^2} \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left ( 1 - \pi x \coth \pi x \right ) \, {\rm d}x\\ &= \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left [ 1 - \pi x \left ( 1 + \frac{2e^{-2 \pi x}}{1-e^{-2\pi x}} \right ) \right ] \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi \int_{0}^{1} x \sum_{n=1}^{\infty} e^{-2 \pi n x} \, {\rm d}x \\ &= \frac{1}{2} - \frac{\pi}{4} - \pi \sum_{n=1}^{\infty} \left [ \frac{1}{4 \pi^2 n^2} - \frac{e^{-2 \pi n}}{2\pi n} - \frac{e^{-2\pi n}}{4 \pi^2 n^2} \right ] \\ &= \frac{1}{2} + \frac{17 \pi}{24} - \frac{1}{2} \ln \left( e^{2\pi} -1 \right) + \frac{1}{4\pi} {\rm Li}_2 \left(e^{-2\pi} \right) \end{aligned}}$ όπου ${\rm Li}_2$ ο διλογάριθμος που ορίζεται ως $\displaystyle{{\rm Li}_2 (x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2} \quad , \quad |x| \leq 1}$ και φυσικά
$\displaystyle{\log (1-x) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} \quad -1\leq x <1}$ Γνωστή τεχνική το παραπάνω!!

άθροισμα n·arccot(n)

άθροισμα n·arccot(n)

Re: άθροισμα n·arccot(n)

Μέλη σε σύνδεση