Σειρά με ζήτα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Απάντηση
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 5569
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: International
Επικοινωνία:
Επικοινωνία Tolaso J Kos

Σειρά με ζήτα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos »

Η άσκηση εδώ μου θύμισε τη παρακάτω σειρά την οποία είχα αντιμετωπίσει παλαιότερα λύνοντας ένα πολύ παρόμοιο άθροισμα ( δείτε hide ) . Σύμφωνα με το Mathematica ισχύει ότι
\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\zeta(4m-2)-1}{4m} = -\frac{1}{24 \pi ^2}\left(10 \pi ^3+6 \pi ^2 \log\left(\frac{\pi}{4} (\coth\pi-1)\right)+6 \pi \text{Li}_2(e^{-2\pi})+3 \text{Li}_3(e^{-2\pi})-3\zeta(3)\right)} Δεν έχω καταφέρει όμως να το αποδείξω αλλά τη θέτω εδώ μήπως μου φύγει και εμένα η απορία για το πώς λύνεται.
Η σειρά αυτή εμφανίζεται στο πολύ παρόμοιο άθροισμα
\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=2}^\infty \left(n^2 {\rm arcoth}\; n \; {\rm arccot} \; n -1 \right)} το οποίο αντιμετώπισα πριν δύο ή τρία χρόνια. Είναι μία ενδιαφέρουσα σειρά η οποία μου είχε δώσει τη δυνατότητα να δω τη τεχνική που εφάρμοσα στο εκεί post.
Λέγοντας τα παραπάνω αφήγω προς επίλυση την αρχική σειρά με τη \zeta την οποία θεωρώ τόσο ενδιαφέρουσα όσο και απαιτητική.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Ετικέτες:
ανάλυση
ειδικές-συναρτήσεις
σειρά
Κορυφή
Απάντηση

Επιστροφή στο “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης