Δυωνυμο-Αρμονικο-Δυναμικό άθροισμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Δυωνυμο-Αρμονικο-Δυναμικό άθροισμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Αύγ 30, 2017 6:34 pm

Σε συνέχεια αυτού viewtopic.php?f=9&t=59573 να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( {n!} \right)}^2} \cdot {H_n} \cdot {2^n}}}{{\left( {2n} \right)!}}}  = \frac{{\pi \left( {2 - \log 2} \right) + 4 \cdot G}}{2}}, όπου \displaystyle{G:} η σταθερά του Catalan.


Σεραφείμ Τσιπέλης

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
pprime
Δημοσιεύσεις: 39
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 16, 2014 1:54 am

Re: Δυωνυμο-Αρμονικο-Δυναμικό άθροισμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pprime » Πέμ Αύγ 31, 2017 3:35 am

Σεραφείμ έγραψε: Σε συνέχεια αυτού viewtopic.php?f=9&t=59573 να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( {n!} \right)}^2} \cdot {H_n} \cdot {2^n}}}{{\left( {2n} \right)!}}}  = \frac{{\pi \left( {2 - \log 2} \right) + 4 \cdot G}}{2}}, όπου \displaystyle{G:} η σταθερά του Catalan.
esto es muy hermoso Seraphim, lo intentaré. :coolspeak: :coolspeak: :coolspeak: :coolspeak: :coolspeak:

Μετάφραση: Αυτό είναι πολύ όμορφο Σεραφείμ, θα προσπαθήσω.


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Δυωνυμο-Αρμονικο-Δυναμικό άθροισμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Πέμ Αύγ 31, 2017 11:51 am

pprime έγραψε:esto es muy hermoso Seraphim, lo intentaré. :coolspeak: :coolspeak: :coolspeak: :coolspeak: :coolspeak:

Μετάφραση: Αυτό είναι πολύ όμορφο Σεραφείμ, θα προσπαθήσω.
:) :)


Σεραφείμ Τσιπέλης
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4518
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Δυωνυμο-Αρμονικο-Δυναμικό άθροισμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιούλ 27, 2018 12:25 am

Σεραφείμ έγραψε:
Τετ Αύγ 30, 2017 6:34 pm
Σε συνέχεια αυτού http://www.mathematica.gr/forum/viewtop ... =9&t=59573 να αποδειχθεί ότι \displaystyle{\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{\left( {n!} \right)}^2} \cdot {H_n} \cdot {2^n}}}{{\left( {2n} \right)!}}}  = \frac{{\pi \left( {2 - \log 2} \right) + 4 \cdot G}}{2}}, όπου \displaystyle{G:} η σταθερά του Catalan.
Διάφορες υποχρεώσεις με κρατάν μακριά από κάποιες ασχολίες. Φαίνεται πως τα παραπάνω είναι καλομελετημένα και έχουν αποδειχθεί κάπως παρόμοια με αυτά που έχει κάνει ο Σεραφείμ στη παραπομπή.

Θέτουμε t = \frac{z}{1-z} \; , \; |t| \leq 1. Τότε ( θεώρημα ) είναι:


\displaystyle{{\colorbox{cyan}{\color{brown}\boxed{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\mathcal{H}_n 4^n}{\binom{2n}{n}} z^n = \left ( 1+t \right ) \left [ \left (2 + \frac{1}{2} \log \frac{1+t}{4}  \right ) \sqrt{t} \arctan \sqrt{t} - \frac{\sqrt{-t}}{2} \left ( \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1+\sqrt{-t}}{2} \right ) - \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1-\sqrt{-t}}{2} \right ) \right ) \right ] }}}}
Για z=\frac{1}{2} είναι t=1. Για t=1 το δεξί μέλος γίνεται:


\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n \mathcal{H}_n}{\binom{2n}{n}} &= 2\left [ \left (2 + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}  \right ) \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{-1}}{2} \left ( \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1+\sqrt{-1}}{2} \right ) - \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1-\sqrt{-1}}{2} \right ) \right ) \right ] \\  
 &= 2\left [ \left (2 + \frac{1}{2} \log \frac{1}{2}  \right ) \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{i}{2} \left ( \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1+i}{2} \right ) - \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1-i}{2} \right ) \right ) \right ] \\  
 &= 2 \left [ \left (2 - \frac{\log 2}{2}  \right ) \cdot \frac{\pi}{4}- \frac{1}{8} \left ( \pi \log 2 - 8 \mathcal{G} \right )  \right ]\\  
 &= 2 \left ( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi \log 2}{8} - \frac{\pi \log 2}{8} + \mathcal{G} \right )\\  
 &= \pi - \frac{\pi \log 2}{2}+2 \mathcal{G} 
\end{aligned}}
Βεβαίως είναι:

\displaystyle{\mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1+i}{2} \right ) - \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1-i}{2} \right ) = -\frac{i}{4} \left ( \pi \log 2 - 8 \mathcal{G} \right )}
όπου \mathrm{Li}_2 o διλογάριθμος και \mathcal{G} η σταθερά Catalan. Έχω απόδειξη για αυτή τη σχέση. Την αφήνω , όμως , στον αναγνώστη. :diablo: :diablo: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2:


Και μη χειρότερα. Μπράβο Σεραφείμ , χτύπα κι άλλο θα το αντέξω.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Κοτρώνης Αναστάσιος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 3203
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 22, 2009 11:11 pm
Τοποθεσία: Μπροστά στο πισί...
Επικοινωνία:

Re: Δυωνυμο-Αρμονικο-Δυναμικό άθροισμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Κοτρώνης Αναστάσιος » Παρ Ιούλ 27, 2018 5:24 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Ιούλ 27, 2018 12:25 am
Βεβαίως είναι:

\displaystyle{\mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1+i}{2} \right ) - \mathrm{Li}_2 \left ( \frac{1-i}{2} \right ) = -\frac{i}{4} \left ( \pi \log 2 - 8 \mathcal{G} \right )}
όπου \mathrm{Li}_2 o διλογάριθμος και \mathcal{G} η σταθερά Catalan. Έχω απόδειξη για αυτή τη σχέση. Την αφήνω , όμως , στον αναγνώστη. :diablo: :diablo: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2: :clap2:
Τόλη αυτά τα γνωρίζουν και τα χαλίκια.


Εσύ....; Θα γίνεις κανίβαλος....;
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες