Όριο με ουρά ζήτα

Tolaso J Kos · #1

Ας υπολογιστεί το όριο
$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \left( \zeta(2) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \right)}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Οκτ 07, 2017 12:03 am Ας υπολογιστεί το όριο
$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n \left( \zeta(2) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \right)}$

O όρος στην παρένθεση είναι ίσος με

$\frac{1}{(n+1)^2}+ \frac{1}{(n+2)^2} + ... \le \frac{1}{n(n+1)}+ \frac{1}{(n+1)(n+2)} +... = \left ( \frac{1}{n}- \frac{1}{n+1}\right ) +\left ( \frac{1}{n+1}- \frac{1}{n+2}\right ) +... = \frac{1}{n}$ (τηλεσκοπικά)

και όμοια

$\ge \frac{1}{(n+1)(n+2)}+ \frac{1}{(n+2)(n+2)^3} +... = \left ( \frac{1}{n+1}- \frac{1}{n+2}\right ) +\left ( \frac{1}{n+2}- \frac{1}{n+3}\right ) +... = \frac{1}{n+1}$

Άρα το δοθέν είναι μεταξύ των

και $\frac{n}{n+1}$ , που έχουν κοινό όριο το

. Και λοιπά.

Tolaso J Kos · #3

Πολύ ωραία.. Αυτός είναι και ο ευκολότερος τρόπος. Ας δούμε και έναν άλλο ...

Παρατηρούμε ότι:
$\displaystyle{n \left ( \zeta(2) - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} \right )= n \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{\left ( \frac{k}{n} \right )^2} \longrightarrow \int_1^{\infty} \frac{{\rm d}x}{x^2} = 1}$

#4

Σωστά μεν και ωραία αλλά το βήμα εδώ

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Οκτ 07, 2017 10:08 am $\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{\left ( \frac{k}{n} \right )^2} \longrightarrow \int_1^{\infty} \frac{{\rm d}x}{x^2} = 1}$

θέλει αιτιολόγηση. Το πρόβλημα είναι ότι πρόκειται για καταχρηστικό ολοκλήρωμα και, επιπλέον, το ένα μέλος είναι απειροάθροισμα. Αν ήταν ολοκλήρωμα σε πεπερασμένο διάστημα και αν το άθροισμα είχε πεπερασμένο πλήθος όρων, τότε απλά θα μπορούσαμε να επικαλεστούμε το κριτήριο Riemann. Όμως για απειροδιαστήματα και απιειροσειρές πρέπει να είμαστε πιο προσεκτικοί στις συγκλίσεις. Όπως και να είναι ο ισχυρισμός είναι σωστός και η απόδειξη που λείπει είναι προσιτή (αν και ισοδύναμη με το αρχικό ερώτημα).

Tolaso J Kos · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Οκτ 07, 2017 10:56 am Σωστά μεν και ωραία αλλά το βήμα εδώ

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Οκτ 07, 2017 10:08 am $\displaystyle{ \frac{1}{n} \sum_{k=n+1}^{\infty} \frac{1}{\left ( \frac{k}{n} \right )^2} \longrightarrow \int_1^{\infty} \frac{{\rm d}x}{x^2} = 1}$
θέλει αιτιολόγηση.

Ενδιαφέρον. Δεν ήξερα πως αυτό το διαισθητικά προφανές αποτέλεσμα θέλει αιτιολόγηση. Μου φάνηκε τόσο προφανές. Δεν έχω την αιτιολόγηση η αλήθεια είναι. Θα ήθελα να τη δω.

Σημείωση: Η τεχνική που εφάρμοσε ο κ. Μιχάλης στο πρώτο ποστ έχω δει να λέγεται creative telescoping ( πώς μεταφράζεται στα Ελληνικά ; ) και δίδει καταπληκτικές ταυτότητες καθώς και accelerating series ( πώς μεταφράζεται στα Ελληνικά ; ) . Έχει χρησιμοποιηθεί η τεχνική αυτή στην απόδειξη της αρρητότητας του $\zeta(3)$ .

Tolaso J Kos · #6

Ενδιαφέρον πιστεύω θα είχε να δούμε και τη παρακάτω οικογένεια ορίων. Έστω $s \in \mathbb{N}$ και ας δηλώσουμε με $\mathcal{H}_n^{(s)}$ το γενικευμένο αρμονικό

- οστό όρο βάρους

που ορίζεται ως $\displaystyle \mathcal{H}_n^{(s)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s}$ . Να υπολογιστούν τα όρια:
$\displaystyle{\ell_1 = \lim_{n \rightarrow + \infty} n^s \left ( \zeta(2s) - \mathcal{H}_n^{(2s)} \right ) \quad \quad , \quad \quad \ell_2 = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\zeta(2s) - \mathcal{H}_n^{(2s)}}{n^s}}$

#7

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Οκτ 07, 2017 4:59 pm Ενδιαφέρον πιστεύω θα είχε να δούμε και τη παρακάτω οικογένεια ορίων. Έστω $s \in \mathbb{N}$ και ας δηλώσουμε με $\mathcal{H}_n^{(s)}$ το γενικευμένο αρμονικό - οστό όρο βάρους που ορίζεται ως $\displaystyle \mathcal{H}_n^{(s)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s}$ . Να υπολογιστούν τα όρια:
$\displaystyle{\ell_1 = \lim_{n \rightarrow + \infty} n^s \left ( \zeta(2s) - \mathcal{H}_n^{(2s)} \right ) \quad \quad , \quad \quad \ell_2 = \lim_{n \rightarrow +\infty} \frac{\zeta(2s) - \mathcal{H}_n^{(2s)}}{n^s}}$

Η σωστή ερώτηση δεν είναι αυτή αλλά η εύρεση του ορίου $\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow + \infty} n^{2s-1} \left ( \zeta(2s) - \mathcal{H}_n^{(2s)} \right ), \, s\ge 1$ ή ακόμα καλύτερα $\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow + \infty} n^{s-1} \left ( \zeta(s) - \mathcal{H}_n^{(s)} \right ), \, s\ge 2 \, (*)$ . Θα δούμε με απλό συλλογισμό ότι η απάντηση είναι $\displaystyle{ \frac {1}{s-1}$ (και άρα το όρια στις αρχικές ερωτήσεις είναι

και $+\infty$ , αντίστοιχα, για τετριμμένο λόγο).

Επειδή η $\displaystyle{ \frac {1}{x^s}$ είναι φθίνουσα για x>0

έχουμε ο όρος στην παρένθεση στην (*)

είναι ίσος με

$\displaystyle{ \frac {1}{(n+1)^s} + \frac {1}{(n+2)^s} +... \ge \int _{n+1}^{\infty} \frac {1}{x^s} \, dx = \frac {1}{s-1}\cdot \frac {1}{(n+1)^{s-1}}}$ και όμοια

$\displaystyle{ \frac {1}{(n+1)^s} + \frac {1}{(n+2)^s} +... \le \int _{n}^{\infty} \frac {1}{x^s} \, dx = \frac {1}{s-1}\cdot \frac {1}{n^{s-1}}}$

Πολλαπλασιάζοντας επί $n^{s-1}$ και παίρνοντας όριο, έχουμε αμέσως το ζητούμενο.

Όριο με ουρά ζήτα

Όριο με ουρά ζήτα

Re: Όριο με ουρά ζήτα

Re: Όριο με ουρά ζήτα

Re: Όριο με ουρά ζήτα

Re: Όριο με ουρά ζήτα

Re: Όριο με ουρά ζήτα

Re: Όριο με ουρά ζήτα

Μέλη σε σύνδεση