Υπολογισμός τριγωνομετρικού ολοκληρώματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3345
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Υπολογισμός τριγωνομετρικού ολοκληρώματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Πέμ Νοέμ 09, 2017 7:30 am

Έστω |a| \neq 1. Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα
\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{2\pi} \frac{\cos^2 3 \theta}{1-2a \cos \theta+a^2} \, {\rm d} \theta}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1765
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Υπολογισμός τριγωνομετρικού ολοκληρώματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Νοέμ 12, 2017 8:37 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Πέμ Νοέμ 09, 2017 7:30 am
Έστω |a| \neq 1. Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα
\displaystyle{\mathcal{J} = \int_{0}^{2\pi} \frac{\cos^2 3 \theta}{1-2a \cos \theta+a^2} \, {\rm d} \theta}


Για a\in \mathbb{C} με \left | a \right |\neq 1

θέτουμε I(a)=\int_{0}^{2\pi }\frac{(\cos 3t)^{2}}{1-2a\cos t+a^{2}}dt

Υποθέτουμε ότι a\in \mathbb{R}

1περίπτωση 0\leq a< 1

Από τον τύπο του Poisson έχουμε ότι για 0\leq r< 1

u(re^{i\theta })=\frac{1-r^{2}}{2\pi }\int_{0}^{2\pi }\dfrac{u(e^{it})}{r^{2}-2r\cos (\theta -t)+1}dt(1)

όπου u:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{R} αρμονική συνάρτηση.

Ειναι (\cos 3t)^{2}=\frac{1+\cos 6t}{2}=Re(\frac{1+z^{6}}{2})=u(z),z=e^{it}

Ετσι η (1)δίνει \frac{1+a^{6}}{2}=\frac{1-a^{2}}{2\pi }I(a)

Τελικά 0\leq a< 1\Rightarrow I(a)=\pi \frac{1+a^{6}}{1-a^{2}}

2 περίπτωση a> 1

Ευκολα βλέπουμε ότι I(a)=\frac{1}{a^{2}}I(\frac{1}{a})=\pi \frac{1+a^{6}}{a^{6}(a^{2}-1)}



Η I:\mathbb{C}-\left \{ a\in \mathbb{C}:\left | a \right | =1\right \}\rightarrow \mathbb{C}

είναι ολόμορφη συνάρτηση όποτε από την αρχή της αναλυτικής συνέχισης η αρχή της ταυτότητας η όπως αλλιώς λέγεται

παίρνουμε ότι \left | a \right |< 1\Rightarrow I(a)=\pi \frac{1+a^{6}}{1-a^{2}}

και \left | a \right |> 1\Rightarrow I(a)=\pi \frac{1+a^{6}}{a^{6}(a^{2}-1)}

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_kernel


Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7757
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός τριγωνομετρικού ολοκληρώματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Τετ Νοέμ 15, 2017 11:37 am

Μπορεί να υπολογιστεί και με μιγαδική ανάλυση.

Έστω C κύκλος με κέντρο το 0 και ακτίνα 1. Τότε (με την παραμετροποίηση z=e^{ix}) παίρνουμε

\displaystyle  I = \int_C \frac{\frac{1}{4}\left(z^3 + \frac{1}{z^3} \right)^2}{1 - a\left(z + \frac{1}{z}\right) + a^2} \frac{\mathrm{d}z}{iz} = -\frac{1}{4i} \int_C \frac{z^{12} + 2z^6+1}{z^6(az^2 - (a^2+1)z +a)}\, \mathrm{d}z = -\frac{1}{4i} \int_C \frac{z^{12} + 2z^6+1}{z^6(z-a)(az-1)}\, \mathrm{d}z

Θέτουμε \displaystyle f(z) = \frac{z^{12} + 2z^6+1}{z^6(z-a)(az-1)}

Για a=0, μέσα στο C έχουμε \displaystyle  f(z) = -z^5 - \frac{2}{z} - \frac{1}{z^7} η οποία έχει πόλο μόνο στο z=0 με υπόλοιπο -2. Οπότε \displaystyle  I = \pi.


Για 0 < |a| < 1, μέσα στο C η f έχει πόλους στα z=0 και z=a. Στο z = a, το υπόλοιπο ισούται με \displaystyle  \frac{(a^6+1)^2}{a^6(a^2-1)} Για το υπόλοιπο στο z=0 αρκεί να βρούμε τον συντελεστή του z^5 στο ανάπτυγμα Taylor του

\displaystyle  \frac{1}{(z-a)(az-1)}

Έχουμε

\displaystyle  \frac{1}{(z-a)(az-1)} = \frac{1}{a(1-az)(1-\tfrac{z}{a})} = \frac{1}{a}(1+az + a^2z^2 + \cdots)(1 + \tfrac{z}{a} + \tfrac{z^2}{a^2} + \cdots)

Άρα ο συντελεστής του z^5 είναι

\displaystyle  \frac{1}{a}\left(a^5 + a^3 + \cdots + a^{-5}) = \frac{1}{a^6}(1+a^2 + \cdots + a^{10}) = \frac{a^{12}-1}{a^6(a^2-1)}

Οπότε

\displaystyle  I = - \frac{2\pi i}{4i} \left[ \frac{a^{12}-1}{a^6(a^2-1)} + \frac{(a^6+1)^2}{a^6(a^2-1)}\right] = \frac{\pi}{2} \frac{a^6+1}{a^6(1-a^2)}\left[ (a^6-1) + (a^6 + 1)\right] = \frac{\pi(a^6+1)}{1-a^2}

Για |z| >1 έχουμε πόλους στο 0, με το ίδιο υπόλοιπο όπως προηγουμένως, και στο 1/a με υπόλοιπο

\displaystyle  \frac{((1/a)^6 + 1)^2}{(1/a)^6(1/a-a)a} = \frac{(a^6+1)^2}{a^6(1-a^2)}

Οπότε καταλήγουμε στο

\displaystyle  I = \frac{\pi}{2} \frac{a^6+1}{a^6(1-a^2)}\left[ (a^6-1) - (a^6 + 1)\right] = \frac{\pi(a^6+1)}{a^6(a^2-1)}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3345
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Υπολογισμός τριγωνομετρικού ολοκληρώματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Νοέμ 15, 2017 12:39 pm

Ωραιότατα. Η δική μου προσέγγιση είναι ακριβώς αυτή του Σταύρου. Το θέμα ήταν ερώτηση σε εξέταση μιγαδικής ανάλυσης αλλά δε ζητούσε να λυθεί με συγκεκριμένο τρόπο. Γενικά ο πυρήνας Poisson βοηθά σε τέτοιας υφής θέματα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες