Σειρά με Lucas

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4175
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Σειρά με Lucas

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Φεβ 04, 2018 8:43 pm

Ας δηλώσουμε με L_n τον n -οστό αριθμό Lucas που ορίζεται ως L_0=2 , L_1=1 και για κάθε n \geq 2 ισχύει \displaystyle L_{n} =L_{n-1} + L_{n-2}. Υπολογίσατε τη σειρά:

\displaystyle \mathcal{S} = \sum_{n=1}^{\infty} \arctan \left ( \frac{L_{n+1}^2}{1+L_n L_{n+1}^{2}L_{n+2}} \right )


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Σειρά με Lucas

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Κυρ Μαρ 04, 2018 10:47 pm

Παρατηρούμε ότι \displaystyle \frac{L_{n+1}^2}{1 + L_n L_{n+1}^2 L_{n+2}} = \frac{L_{n+2}L_{n+1} - L_{n+1}L_n}{1 + (L_n L_{n+1})(L_{n+1} L_{n+2})}

Έτσι \displaystyle \tan^{-1} \left( \frac{L_{n+1}^2}{1 + L_n L_{n+1}^2 L_{n+2}} \right) = \tan^{-1} (L_{n+2}L_{n+1}) - \tan^{-1}  (L_{n+1}L_n).

Τηλεσκοπικά, \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1} \left( \frac{L_{n+1}^2}{1 + L_n L_{n+1}^2 L_{n+2}} \right) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} 3.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης