Όριο ακολουθίας

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
M.S.Vovos
Δημοσιεύσεις: 884
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2015 5:45 pm

Όριο ακολουθίας

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από M.S.Vovos » Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm

Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω x>0. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}.

Φιλικά,
Μάριος


Είναι αυταπάτη ότι η νεότητα είναι ευτυχισμένη, μια αυταπάτη αυτών που την έχουν χάσει. W. Somerset Maugham

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Όριο ακολουθίας

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Φεβ 20, 2018 8:55 pm

Από το ΘΜΤ στη συνάρτηση x^y (με μεταβλητή το y) έχουμε

\displaystyle \frac{n^2 \sqrt[n+1]{x} \ln x}{n(n+1)} \leqslant n^2 \left( \sqrt[n]{x} - \sqrt[n+1]{x} \right) \leqslant \frac{n^2 \sqrt[n]{x} \ln x}{n(n+1)}

από όπου προκύπτει \displaystyle \lim_{n \to \infty} n^2 \left( \sqrt[n]{x} - \sqrt[n+1]{x} \right) = \ln x


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
sot arm
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Όριο ακολουθίας

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Τετ Φεβ 21, 2018 7:52 am

M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm
Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω x>0. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}.

Φιλικά,
Μάριος
Μία ακόμα αντιμετώπιση, θεωρώ την ακολουθία συναρτήσεων:

\displaystyle{f_{n}(t)=\frac{n^{2}}{n(n+1)}[(n+1)t^{\frac{1}{n}-1}-nt^{\frac{1}{n+1}-1}], t>0}

Για: \displaystyle{t>1}

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα:
\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}>t^{\frac{1}{n+1}-1}}

Έπεται:
\displaystyle{\frac{n^2}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n+1}-1}<f_{n}(t)<\frac{n^{2}}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n}-1}}
Ενώ για t<1 και την ανισότητα: \displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}<t^{\frac{1}{n+1}-1}}
Έπεται:
\displaystyle{\frac{n^2}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n+1}-1}>f_{n}(t)>\frac{n^{2}}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n}-1}}
Σε κάθε περίπτωση από ισοσυγκλίνουσες έπεται: \displaystyle{f_{n}(t)\rightarrow \frac{1}{t}}
Τέλος, χρησιμοποιώντας ιδιότητες της ομοιόμορφης σύγκλισης συναρτήσεων έχω:

\displaystyle{F_{n}(x)=\int_{1}^{x}f_{n}(t)dt\rightarrow \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=ln(x)}

Με μία απλή ολοκλήρωση στην f_{n}(t), προκύπτει το ζητούμενο.
τελευταία επεξεργασία από sot arm σε Πέμ Φεβ 22, 2018 4:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2891
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο ακολουθίας

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 22, 2018 4:28 pm

sot arm έγραψε:
Τετ Φεβ 21, 2018 7:52 am
M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm
Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω x>0. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}.

Φιλικά,
Μάριος
Μία ακόμα αντιμετώπιση, θεωρώ την ακολουθία συναρτήσεων:

\displaystyle{f_{n}(t)=\frac{n^{2}}{n(n+1)}[(n+1)t^{\frac{1}{n}-1}-nt^{\frac{1}{n+1}-1}], t>0}

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα:
\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}>t^{\frac{1}{n+1}-1}}

Έπεται:
\displaystyle{\frac{n^2}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n+1}-1}<f_{n}(t)<\frac{n^{2}}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n}-1}}

Από ισοσυγκλίνουσες έπεται: \displaystyle{f_{n}(t)\rightarrow \frac{1}{t}}
Τέλος, χρησιμοποιώντας ιδιότητες της ομοιόμορφης σύγκλισης συναρτήσεων έχω:

\displaystyle{F_{n}(x)=\int_{1}^{x}f_{n}(t)dt\rightarrow \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=ln(x)}

Με μία απλή ολοκλήρωση στην f_{n}(t), προκύπτει το ζητούμενο.
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα:
\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}>t^{\frac{1}{n+1}-1}}

Αυτή ισχύει για t> 1

Μάλλον πρέπει να ξεχωρίσουμε τις περιπτώσεις x>1 και x<1


sot arm
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Όριο ακολουθίας

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Πέμ Φεβ 22, 2018 4:59 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Πέμ Φεβ 22, 2018 4:28 pm
sot arm έγραψε:
Τετ Φεβ 21, 2018 7:52 am
M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm
Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω x>0. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}.

Φιλικά,
Μάριος
Μία ακόμα αντιμετώπιση, θεωρώ την ακολουθία συναρτήσεων:

\displaystyle{f_{n}(t)=\frac{n^{2}}{n(n+1)}[(n+1)t^{\frac{1}{n}-1}-nt^{\frac{1}{n+1}-1}], t>0}

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα:
\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}>t^{\frac{1}{n+1}-1}}

Έπεται:
\displaystyle{\frac{n^2}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n+1}-1}<f_{n}(t)<\frac{n^{2}}{n(n+1)}t^{\frac{1}{n}-1}}

Από ισοσυγκλίνουσες έπεται: \displaystyle{f_{n}(t)\rightarrow \frac{1}{t}}
Τέλος, χρησιμοποιώντας ιδιότητες της ομοιόμορφης σύγκλισης συναρτήσεων έχω:

\displaystyle{F_{n}(x)=\int_{1}^{x}f_{n}(t)dt\rightarrow \int_{1}^{x}\frac{1}{t}dt=ln(x)}

Με μία απλή ολοκλήρωση στην f_{n}(t), προκύπτει το ζητούμενο.
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα:
\displaystyle{t^{\frac{1}{n}-1}>t^{\frac{1}{n+1}-1}}

Αυτή ισχύει για t> 1

Μάλλον πρέπει να ξεχωρίσουμε τις περιπτώσεις x>1 και x<1
Νομίζω τώρα είναι μια χαρά, ευχαριστώ για την επισήμανση.


Αρμενιάκος Σωτήρης
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2891
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Όριο ακολουθίας

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Φεβ 22, 2018 8:16 pm

M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm
Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω x>0. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}.

Φιλικά,
Μάριος
Γράφοντας \sqrt[n]{x}=e^{\frac{lnx}{n}} παίρνουμε από το ανάπτυγμα της εκθετικής

\sqrt[n]{x}=e^{\frac{lnx}{n}}=1+\frac{lnx}{n}+\frac{1}{2}(\frac{lnx}{n})^{2}+O(\frac{1}{n^{3}})

και \sqrt[n+1]{x}=e^{\frac{lnx}{n+1}}=1+\frac{lnx}{n+1}+\frac{1}{2}(\frac{lnx}{n+1})^{2}+O(\frac{1}{(n+1)^{3}})

αφαιρώντας παίρνουμε

e^{\frac{lnx}{n}}-e^{\frac{lnx}{n+1}}=\frac{lnx}{n(n+1)}+\frac{1}{2}(lnx)^{2}\frac{2n+1}{(n(n+1))^{2}}+O(\frac{1}{n^{3}})

Ετσι n^{2}(e^{\frac{lnx}{n}}-e^{\frac{lnx}{n+1}})=lnx-lnx\frac{1}{n+1}+O(\frac{1}{n})

πού δίνει το ζητούμενο.

Να σημειώσω ότι αν θεωρήσουμε ακολουθία συναρτήσεων τότε η σύγκλιση είναι ομοιόμορφη στα συμπαγή
υποσύνολα του (0,\infty )


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11904
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Όριο ακολουθίας

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Φεβ 23, 2018 7:40 am

M.S.Vovos έγραψε:
Τρί Φεβ 20, 2018 8:26 pm
Θα ήθελα να μαζέψουμε όσες περισσότερες λύσεις γίνεται.

Έστω x>0. Να υπολογίσετε το όριο \displaystyle{\lim_{n\rightarrow \infty }n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )}.
Χαιρετίσματα από το Πακιστάν.

Το παραπάνω αλλιώς, που δείχνει και "τι τρέχει". Ουσιαστικά πρόκειται για το όριο \displaystyle{\lim _{a\to 0}\frac {x^a-1}{a-0}= \ln x} (απλό, π.χ.
ως παράγωγος ως προς a στο a=0 της x^a για x σταθερό).

Είναι τότε

\displaystyle{n^{2}\left ( \sqrt[n]{x}-\sqrt[n+1]{x} \right )= \frac {n^2}{n(n+1)} \cdot x^{\frac {1}{n+1} } \cdot \left ({\frac  {x^{\frac {1}{n(n+1)} }-1} {\frac {1}{n(n+1)}} \right ) \to 1\cdot 1 \cdot \ln x}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης