Ας ανακαλύψουμε τον ... π

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Αποδείξατε ότι:
$\displaystyle{\pi =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n-1}{4^n} \zeta(n+1)}$
Η ισότητα αυτή είναι μία accelerating σειρά που συγκλίνει στο $\pi$ και δόθηκε από τον Vardi το . Πρόκειται για μετασχηματισμούς της γνωστής σειράς $\displaystyle{4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}}$ η οποία συγκλίνει στο $\pi$ αργά.

dement · #2

Έχουμε τη σειρά Taylor τής δίγαμμα που είναι $\displaystyle \psi(z+1) = - \gamma - \sum_{k=1}^\infty \zeta(k+1) (-z)^k$ και έτσι

$\displaystyle \psi(1/4) = - \gamma - \sum_{k=1}^\infty \zeta(k+1) \left( \frac{3}{4} \right)^k$ και

$\displaystyle \psi(3/4) = - \gamma - \sum_{k=1}^\infty \zeta(k+1) \left( \frac{1}{4} \right)^k$ .

Άρα, το ζητούμενο είναι $\psi (3/4) - \psi (1/4)$ . Όμως, από το θεώρημα του Gauss έχουμε $\displaystyle \psi(1/4) = - \gamma - 3 \ln 2 - \frac{\pi}{2}, \psi(3/4) = - \gamma - 3 \ln 2 + \frac{\pi}{2}$ .

Έτσι, η παράσταση ισούται με $\pi$ .

Ας ανακαλύψουμε τον ... π

Ας ανακαλύψουμε τον ... π

Re: Ας ανακαλύψουμε τον ... π

Μέλη σε σύνδεση