Ας ανακαλύψουμε τον ... π

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4303
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ας ανακαλύψουμε τον ... π

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μαρ 04, 2018 7:27 pm

Έστω \zeta η συνάρτηση ζήτα του Riemann. Αποδείξατε ότι:
\displaystyle{\pi =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n-1}{4^n} \zeta(n+1)}
Η ισότητα αυτή είναι μία accelerating σειρά που συγκλίνει στο \pi και δόθηκε από τον Vardi το 1991. Πρόκειται για μετασχηματισμούς της γνωστής σειράς \displaystyle{4 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}} η οποία συγκλίνει στο \pi αργά.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ας ανακαλύψουμε τον ... π

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Δευ Μαρ 05, 2018 6:37 pm

Έχουμε τη σειρά Taylor τής δίγαμμα που είναι \displaystyle \psi(z+1) = - \gamma - \sum_{k=1}^\infty \zeta(k+1) (-z)^k και έτσι

\displaystyle \psi(1/4) = - \gamma - \sum_{k=1}^\infty \zeta(k+1) \left( \frac{3}{4} \right)^k και

\displaystyle \psi(3/4) = - \gamma - \sum_{k=1}^\infty \zeta(k+1) \left( \frac{1}{4} \right)^k.

Άρα, το ζητούμενο είναι \psi (3/4) - \psi (1/4). Όμως, από το θεώρημα του Gauss έχουμε \displaystyle \psi(1/4) = - \gamma - 3 \ln 2 - \frac{\pi}{2}, \psi(3/4) = - \gamma - 3 \ln 2 + \frac{\pi}{2}.

Έτσι, η παράσταση ισούται με \pi.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης