Εύρεση λογαριθμικού αθροίσματος

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2631
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Εύρεση λογαριθμικού αθροίσματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τρί Μαρ 13, 2018 5:50 pm

Να υπολογισθεί το \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\log\big(1-\tfrac{1}{n^2\pi}\big).


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3384
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Εύρεση λογαριθμικού αθροίσματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μαρ 13, 2018 7:29 pm

grigkost έγραψε:
Τρί Μαρ 13, 2018 5:50 pm
Να υπολογισθεί το \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\log\big(1-\tfrac{1}{n^2\pi}\big).

Ξεκινάμε με τον γνωστό τύπο

\displaystyle{\frac{\sin z}{z} = \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{z^2}{n^2 \pi^2} \right ) \overset{z=\sqrt{\pi}}{=\!=\!=\!\Rightarrow } \frac{ \sin \sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} = \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1 - \frac{1}{n^2 \pi} \right )}
Τότε,
\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^{\infty} \log \left ( 1 - \frac{1}{n^2 \pi} \right ) &= \log \left [ \prod_{n=1}^{\infty} \left ( 1  - \frac{1}{n^2 \pi} \right ) \right ] \\  
 &= \log \frac{\sin \sqrt{\pi}}{\sqrt{\pi}} 
\end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης