Ένα όριο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4175
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ένα όριο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Μαρ 26, 2018 9:03 pm

Για όποιον δεν έχει να κάνει κάτι καλύτερο σήμερα βράδυ Δευτέρας .

Να υπολογιστεί το όριο :
\displaystyle{\ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11906
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όριο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 27, 2018 12:45 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μαρ 26, 2018 9:03 pm
Να υπολογιστεί το όριο :
\displaystyle{\ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}
Απάντηση: \displaystyle{\frac {1}{3}}

Από τις ανισότητες 1-x \le e^{-x}\le 1 στο [0,1] και x-x^3/3! \le \sin x \le x στο [0,1] έχουμε

\displaystyle{ 1- \frac {k^2}{n^3} \le e^{-k^2/n^3}   \le 1} και \displaystyle{ \frac{k^2}{n^3} - \frac{k^6}{6n^9}\le \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )\le \frac {k^2}{n^3}  } για 1\le k \le n

Με πολλαπλασιασμό (όλοι οι όροι είναι θετικοί) έχουμε

\displaystyle{  \frac {k^2}{n^3} -  \frac {k^4}{n^6}-  \frac {k^6}{6n^9}  +  \frac {k^8}{6n^{12}} \le e^{-k^2/n^3}  \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right  )  \le  \frac {k^2}{n^3} }

Προσθέτοντας από k=1 έως n , παίρνοντας όριο και με χρήση του \frac {1}{n^{p+1}}\sum _{k=1}^n k^p \to \frac {1}{p+1} έχουμε από ισοσυγκλίνουσες

\displaystyle{ \frac {1}{3}-0-0+0 \le \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3}   \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )\le \frac {1}{3}}, από όπου το ζητούμενο.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Τρί Μαρ 27, 2018 10:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2891
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ένα όριο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τρί Μαρ 27, 2018 12:50 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μαρ 26, 2018 9:03 pm
Για όποιον δεν έχει να κάνει κάτι καλύτερο σήμερα βράδυ Δευτέρας .

Να υπολογιστεί το όριο :
\displaystyle{\ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}
Θέτουμε A_{n}=\sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}

Είναι
A_{n}\leq \sum_{k=1}^{n} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}\leq \sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}

συμπεραίνουμε ότι limsupA_{n}\leq \frac{1}{3}(0)

Είναι e^{-\frac{k^{2}}{n^{3}}}\geq e^{-\frac{n^{2}}{n^{3}}} =e^{-\frac{1}{n}},k=1,2,...n(1)

Επίσης η συνάρτηση f(x)=\dfrac{\sin x}{x},x\in (0,\frac{\pi }{2})

είναι φθίνουσα.

Ετσι \sin \dfrac{k^{2}}{n^{3}}\geq \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}.\dfrac{k^{2}}{n^{3}},k=1,2....n(2)

Από (1)(2) παίρνουμε ότι

A_{n}\geq e^{-\frac{1}{n}}\dfrac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}

συμπεραίνουμε ότι liminfA_{n}\geq \frac{1}{3}

Η (0) και η τελευταία μας δίνουν ότι limA_{n}=\frac{1}{3}


dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Ένα όριο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Μαρ 27, 2018 10:09 am

Ας βάλω και την δική μου...

Υποδηλώνω με S_n (f, [0,1]) το άθροισμα Riemann της f στο [0,1] με ομοιόμορφη διαμέριση n στοιχείων και με ετικέτες το δεξί άκρο κάθε στοιχείου.

Ορίζω την ακολουθία συναρτήσεων \displaystyle f_n (x) \equiv \mathrm{e}^{- x^2/n} n \sin \left( \frac{x^2}{n} \right) η οποία συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,1] στην x^2 (π.χ. με κριτήριο ομοιομορφίας Cauchy).

Έτσι ισχύει \displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( S_n (f_n, [0,1]) - S_n (x^2, [0,1]) \right) = 0. Επίσης ισχύει \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n (x^2, [0,1]) = \int_0^1 x^2 \mathrm{d}x.

Άρα \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n (f_n, [0,1]) =  \int_0^1 x^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{3}, που είναι το ζητούμενο.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11906
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ένα όριο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τρί Μαρ 27, 2018 11:04 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Μαρ 26, 2018 9:03 pm
Να υπολογιστεί το όριο :
\displaystyle{\ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}
Και αλλιώς: Από την σειρά Taylor της e^{-x}\sin x είναι e^{-x}\sin x= x+O(x^2) . Για x=\frac {k^2}{n^3}\le \frac {1}{n}  (όπου 1\le k \le n ) συμπεραίνουμε ότι

 e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )= \frac{k^2}{n^3} + O\left ( \frac {1}{n^2} \right )  .

Αθροίζοντας από k=1 έως n το δοθέν άθροισμα ισούται \frac {n(n+1)(2n+1)}{6n^3} + O\left ( \frac {1}{n} \right )  \to \frac {1}{3}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης