Ένα όριο

Tolaso J Kos · #1

Για όποιον δεν έχει να κάνει κάτι καλύτερο σήμερα βράδυ Δευτέρας .

Να υπολογιστεί το όριο :
$\displaystyle{\ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 9:03 pm
Να υπολογιστεί το όριο :
$\displaystyle{\ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}$

Απάντηση: $\displaystyle{\frac {1}{3}}$

Από τις ανισότητες $1-x \le e^{-x}\le 1$ στο [0,1]

και $x-x^3/3! \le \sin x \le x$ στο [0,1]

έχουμε

$\displaystyle{ 1- \frac {k^2}{n^3} \le e^{-k^2/n^3} \le 1}$ και $\displaystyle{ \frac{k^2}{n^3} - \frac{k^6}{6n^9}\le \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )\le \frac {k^2}{n^3} }$ για $1\le k \le n$

Με πολλαπλασιασμό (όλοι οι όροι είναι θετικοί) έχουμε

$\displaystyle{ \frac {k^2}{n^3} - \frac {k^4}{n^6}- \frac {k^6}{6n^9} + \frac {k^8}{6n^{12}} \le e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right ) \le \frac {k^2}{n^3} }$

Προσθέτοντας από k=1

έως

, παίρνοντας όριο και με χρήση του $\frac {1}{n^{p+1}}\sum _{k=1}^n k^p \to \frac {1}{p+1}$ έχουμε από ισοσυγκλίνουσες

$\displaystyle{ \frac {1}{3}-0-0+0 \le \lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )\le \frac {1}{3}}$ , από όπου το ζητούμενο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 9:03 pm
Για όποιον δεν έχει να κάνει κάτι καλύτερο σήμερα βράδυ Δευτέρας .

Να υπολογιστεί το όριο :
$\displaystyle{\ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}$

Θέτουμε $A_{n}=\sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}$

Είναι
$A_{n}\leq \sum_{k=1}^{n} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}\leq \sum_{k=1}^{n} \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}$

συμπεραίνουμε ότι $limsupA_{n}\leq \frac{1}{3}$ (0)

Είναι $e^{-\frac{k^{2}}{n^{3}}}\geq e^{-\frac{n^{2}}{n^{3}}} =e^{-\frac{1}{n}},k=1,2,...n$ (1)

Επίσης η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{\sin x}{x},x\in (0,\frac{\pi }{2})$

είναι φθίνουσα.

Ετσι $\sin \dfrac{k^{2}}{n^{3}}\geq \frac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}.\dfrac{k^{2}}{n^{3}},k=1,2....n$ (2)

Από (1)(2) παίρνουμε ότι

$A_{n}\geq e^{-\frac{1}{n}}\dfrac{\sin \frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6n^{3}}$

συμπεραίνουμε ότι $liminfA_{n}\geq \frac{1}{3}$

Η (0) και η τελευταία μας δίνουν ότι $limA_{n}=\frac{1}{3}$

dement · #4

Ας βάλω και την δική μου...

Υποδηλώνω με S_n (f, [0,1])

το άθροισμα Riemann της

στο

με ομοιόμορφη διαμέριση

στοιχείων και με ετικέτες το δεξί άκρο κάθε στοιχείου.

Ορίζω την ακολουθία συναρτήσεων $\displaystyle f_n (x) \equiv \mathrm{e}^{- x^2/n} n \sin \left( \frac{x^2}{n} \right)$ η οποία συγκλίνει ομοιόμορφα στο [0,1]

στην

(π.χ. με κριτήριο ομοιομορφίας Cauchy).

Έτσι ισχύει $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( S_n (f_n, [0,1]) - S_n (x^2, [0,1]) \right) = 0$ . Επίσης ισχύει $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n (x^2, [0,1]) = \int_0^1 x^2 \mathrm{d}x$ .

Άρα $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n (f_n, [0,1]) = \int_0^1 x^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{3}$ , που είναι το ζητούμενο.

#5

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Μαρ 26, 2018 9:03 pm
Να υπολογιστεί το όριο :
$\displaystyle{\ell =\lim_{n \rightarrow +\infty} \sum_{k=1}^{n} e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )}$

Και αλλιώς: Από την σειρά Taylor της $e^{-x}\sin x$ είναι $e^{-x}\sin x= x+O(x^2)$ . Για $x=\frac {k^2}{n^3}\le \frac {1}{n}$ (όπου $1\le k \le n$ ) συμπεραίνουμε ότι

$e^{-k^2/n^3} \sin \left ( \frac{k^2}{n^3} \right )= \frac{k^2}{n^3} + O\left ( \frac {1}{n^2} \right )$ .

Αθροίζοντας από k=1

έως

το δοθέν άθροισμα ισούται $\frac {n(n+1)(2n+1)}{6n^3} + O\left ( \frac {1}{n} \right ) \to \frac {1}{3}$

Ένα όριο

Ένα όριο

Re: Ένα όριο

Re: Ένα όριο

Re: Ένα όριο

Re: Ένα όριο

Μέλη σε σύνδεση