Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2874
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Απρ 04, 2018 6:29 pm

Αφού μετά από αυτήν τη ανισότητα αναρτήθηκε και αυτή, να δώσω και μια γενίκευση σε αυτόν τον φάκελο:

Έστω f:[{0,1}]\longrightarrow\mathbb{R} μία συνάρτηση με την ιδιότητα Lipschitz, δηλαδή τέτοια ώστε, για K\in\mathbb{R}^{+} και για κάθε x,\,y\in[0,1], να ισχύει:

|{f(x)-f(y)}|\leqslant{K}\,|{x-y}|\,.
Να αποδειχθεί ότι, για κάθε \nu\in\mathbb{N}, ισχύει

\displaystyle\bigg|\int_{0}^{1}{f(x)\,dx}-\frac{1}{\nu}\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}f\big(\tfrac{\kappa}{\nu}\big)\bigg|\leqslant\frac{K}{2\nu}\,.


Σημείωση: Η άσκηση υπάρχει άλυτη σε βιβλίο Απ. Λογ. ΙΙ και είναι γενίκευση της 1ης ανισότητας (που δημοσίευσε ο Λ. Κατσάπας). Έχω λύση για την περίπτωση όπου το φράγμα είναι \frac{K}{\nu} αλλά όχι και για το \frac{K}{2\nu}.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τετ Απρ 04, 2018 7:02 pm

Ισχύει \displaystyle \left| \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) \right| = \left| \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left( f(x) - f\left( \frac{k}{n} \right) \right) \mathrm{d}x \right| \leqslant

\displaystyle \leqslant \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left| f(x) - f\left( \frac{k}{n} \right)  \right| \mathrm{d}x \leqslant K \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left| x - \frac{k}{n}  \right| \mathrm{d}x = \frac{K}{2n}


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2874
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Απρ 04, 2018 7:24 pm

dement έγραψε:
Τετ Απρ 04, 2018 7:02 pm
\displaystyle \ldots \leqslant K \sum_{k=1}^{n} \int_{(k-1)/n}^{k/n} \left| x - \frac{k}{n}  \right| \mathrm{d}x = \frac{K}{2n}
Να από που "βγαίνει" το 2 στον παρανομαστή! (Ευχαριστούμε Δημήτρη)

Εγώ εφάρμοσα Θ.Μ.Τ.Ο.Λ. στα \left[\frac{\kappa-1}{\nu},\frac{\kappa}{\nu}\right]\,,\; \kappa=1,2,\ldots,\nu, από όπου
\displaystyle\frac{1}{\nu}\,f(\xi_{\kappa})=\int_{\frac{\kappa-1}{\nu}}^{\frac{\kappa}{\nu}}f(x)\,dx
και

\begin{aligned}\left|\int_0^1f(x)\,dx-\frac{1}{\nu}\sum_{\kappa=1}^{\nu}f\big(\tfrac{\kappa}{\nu}\big)\right|&=\left|\frac{1}{\nu}\sum_{\kappa=1}^{\nu}\left(f(\xi_{\kappa})-f\big(\tfrac{\kappa}{\nu}\big)\right)\right|\\ 
&\leqslant\frac{1}{\nu}\sum_{\kappa=1}^{\nu}\left|f(\xi_{\kappa})-f\big(\tfrac{\kappa}{\nu}\big)\right|\\ 
&\leqslant\frac{1}{\nu}\sum_{\kappa=1}^{\nu} K\left|\xi_{\kappa}-\frac{\kappa}{\nu}\right|\\ 
&\leqslant\frac{1}{\nu}\sum_{\kappa=1}^{\nu}\frac{K}{\nu}\\ 
&=\frac{K}{\nu}\,. 
\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 652
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Απρ 04, 2018 7:49 pm

grigkost έγραψε:
Τετ Απρ 04, 2018 6:29 pm
Αφού μετά από αυτήν τη ανισότητα αναρτήθηκε και αυτή, να δώσω και μια γενίκευση σε αυτόν τον φάκελο:

Έστω f:[{0,1}]\longrightarrow\mathbb{R} μία συνάρτηση με την ιδιότητα Lipschitz, δηλαδή τέτοια ώστε, για K\in\mathbb{R}^{+} και για κάθε x,\,y\in[0,1], να ισχύει:

|{f(x)-f(y)}|\leqslant{K}\,|{x-y}|\,.
Να αποδειχθεί ότι, για κάθε \nu\in\mathbb{N}, ισχύει

\displaystyle\bigg|\int_{0}^{1}{f(x)\,dx}-\frac{1}{\nu}\mathop{\sum}\limits_{\kappa=1}^{\nu}f\big(\tfrac{\kappa}{\nu}\big)\bigg|\leqslant\frac{K}{2\nu}\,.


Σημείωση: Η άσκηση υπάρχει άλυτη σε βιβλίο Απ. Λογ. ΙΙ και είναι γενίκευση της 1ης ανισότητας (που δημοσίευσε ο Λ. Κατσάπας). Έχω λύση για την περίπτωση όπου το φράγμα είναι \frac{K}{\nu} αλλά όχι και για το \frac{K}{2\nu}.
Καλησπέρα κ. Γρηγόρη. Η άσκηση υπάρχει στο στο Berkeley problems in Mathematics.Εκεί υπάρχει η γενίκευση που

γράψατε. Από εκεί την ψάρεψα απλά την προσάρμοσα σε σχολικά πλαίσια. Η λύση που παρουσιάζεται εκεί είναι ίδια με

αυτή που προτάθηκε παραπάνω. Να σημειώσω ότι γενικά η σύγκλιση είναι αργή (παρονομαστής n).


Άβαταρ μέλους
mikemoke
Δημοσιεύσεις: 215
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 17, 2016 12:58 am

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από mikemoke » Τετ Απρ 04, 2018 8:43 pm

Ισχύει ότι

K(x-\frac{i+1}{n})+f(\frac{i+1}{n})\leq f(x)\leq -K(x-\frac{i+1}{n})+f(\frac{i+1}{n}) \forall x\in [\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}] ,\forall i\in {0,1,2,...,n-1}


\Rightarrow \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}K(x-\frac{i+1}{n})+f(\frac{i+1}{n}) dx\leq  \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx \leq\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}-K(x-\frac{i+1}{n})+f(\frac{i+1}{n}) dx

\Rightarrow \left [\frac{K(x-\frac{i+1}{n})^2}{2} +xf(\frac{i+1}{n}) \right ]_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}\leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx\leq \left [\frac{-K(x-\frac{i+1}{n})^2}{2} +xf(\frac{i+1}{n}) \right ]_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}

\Rightarrow\frac{-K}{2n^2}+\frac{f(\frac{i+1}{n})}{n} \leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx\leq \frac{K}{2n^2}+\frac{f(\frac{i+1}{n})}{n}

\Rightarrow \sum_{i=0}^{n-1} \frac{-K}{2n^2} \leq \sum_{i=0}^{n-1}\int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f(\frac{i+1}{n})}{n} \leq \sum_{i=0}^{n-1} \frac{K}{2n^2}

\Rightarrow \frac{-K}{2n}\leq \int_{0}^{1}f(x)dx -\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f(\frac{i+1}{n})}{n} \leq \frac{K}{2n}

\Rightarrow \frac{-K}{2n}\leq \int_{0}^{1}f(x)dx -\sum_{i=1}^{n}\frac{f(\frac{i}{n})}{n} \leq \frac{K}{2n}


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Γενίκευση ανισότητας για ολοκλήρωμα

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Μάιος 27, 2018 11:53 pm

Δε ξέρω αν προσθέτω κάτι παραπάνω ή επαναλαμβάνω τα ίδια με τους προλαλήσαντες αλλά δίδω και αυτή:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\left|\int_{0}^{1}f(x)\; \mathrm{d} x-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f \left ( \frac{k}{n} \right )\right|&=\left|\sum_{k=1}^{n}\int_{(k-1)/n}^{k/n} \bigg(f(x)-f\left ( \frac{k}{n} \right ) \bigg) \, \mathrm{d}x \right|\\ 
&\leq M\sum_{k=1}^{n}\int_{(k-1)/n}^{k/n}\left|x- \frac{k}{n} \right|dx\\ 
&=M\sum_{k=1}^{n}\int_{(k-1)/n}^{k/n}\left(\frac{k}{n}-x \right)dx\\ 
&=M\left(-\int_{0}^{1}x \; \mathrm{d}x+\frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n}k\right)\\ 
&=M\left(-\frac{1}{2}+\dfrac{1}{n^{2}}\cdot\dfrac{n^{2}+n}{2}\right)\\ 
&=\frac{M}{2n} 
\end{aligned }


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης