Ισότητα για ολοκλήρωμα

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Έστω $f:[{0,1}]\longrightarrow\mathbb{R}$ μία συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσημη

με φραγμένη δεύτερη παράγωγο

Να αποδειχθεί ότι, για κάθε $n\in\mathbb{N}$ , υπάρχει $c\in (0,1)$
ώστε

$\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{2k-1}{2n})+f''(c).\frac{1}{24n^{2}}$

Από την οποία τετριμμένα παίρνουμε

Αν $\left | f''(x) \right |\leq M,x\in (0,1)$

τότε $\left |\int_{0}^{1}f(x)dx-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(\frac{2k-1}{2n}) \right |\leq M.\frac{1}{24n^{2}}$

dement · #2

Ισχύει (από θ. Taylor)

$\displaystyle \int_{\frac{2k-1}{2n}}^{\frac{k}{n}} f(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{2n} f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) + \frac{1}{8n^2} f' \left( \frac{2k-1}{2n} \right) + \frac{1}{48n^3} f'' (\xi_k) \ (\xi_k \in \left( \frac{2k-1}{2n}, \frac{k}{n} \right) )$ καθώς και

$\displaystyle \int_{\frac{2k-1}{2n}}^{\frac{k-1}{n}} f(x) \mathrm{d}x = - \frac{1}{2n} f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) + \frac{1}{8n^2} f' \left( \frac{2k-1}{2n} \right) - \frac{1}{48n^3} f'' (\xi'_k) \ (\xi'_k \in \left( \frac{k-1}{n}, \frac{2k-1}{2n} \right) )$ . Αφαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε

$\displaystyle \int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}} f(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{n} f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) + \frac{1}{24n^2} \frac{f'' (\xi_k) + f'' (\xi'_k)}{2n}$ . Προσθέτοντας από k=1

ως

παίρνουμε

$\displaystyle \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) + \frac{1}{24n^2} \left( \frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n \left( f''(\xi_k) + f''(\xi'_k) \right) \right)$ .

Ο τελευταίος παράγοντας (στην παρένθεση) είναι αριθμητικός μέσος δευτέρων παραγώγων και, από την ιδιότητα Darboux, ισούται με τη δεύτερη παράγωγο κάποιου σημείου $c \in (0,1)$ . Έτσι,

$\displaystyle \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{2k-1}{2n} \right) + \frac{f''(c)}{24n^2}$ .

mikemoke · #3

Έστω $m\leq f''\leq M$

Ισχύει ότι
$\forall x\in [\frac{i}{n},\frac{i+1}{n}] ,\forall i\in\left \{ 0,1,...,n-1 \right \}$

$\frac{m(x-\frac{2i+1}{2n})^2}{2}+f'(\frac{2i+1}{2n})(x-\frac{2i+1}{2n}) +f(\frac{2i+1}{2n}) \leq f(x)\leq \frac{M(x-\frac{2i+1}{2n})^2}{2}+f'(\frac{2i+1}{2n})(x-\frac{2i+1}{2n}) +f(\frac{2i+1}{2n})$

$\Rightarrow \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} (\frac{m(x-\frac{2i+1}{2n})^2}{2}+f'(\frac{2i+1}{2n})(x-\frac{2i+1}{2n}) +f(\frac{2i+1}{2n}) )dx\leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx\leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}(\frac{M(x-\frac{2i+1}{2n})^2}{2}+$
$+f'(\frac{2i+1}{2n})(x-\frac{2i+1}{2n}) +f(\frac{2i+1}{2n}))dx$

$\Rightarrow \left [ \frac{m(x-\frac{2i+1}{2n})^3}{6}+\frac{f'(\frac{2i+1}{2n})(x-\frac{2i+1}{2n})^2}{2} +xf(\frac{2i+1}{2n}) \right ] _{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}} \leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx \leq \left [ \frac{M(x-\frac{2i+1}{2n})^3}{6}+\frac{f'(\frac{2i+1}{2n})(x-\frac{2i+1}{2n})^2}{2} +xf(\frac{2i+1}{2n}) \right ] _{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}$

$\Rightarrow \frac{m}{24n^3} \leq \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx-\frac{f(\frac{2i+1}{2n})}{n}\leq \frac{M}{24n^3}$

$\Rightarrow \sum_{i=0}^{n-1}\frac{m}{24n^3} \leq \sum_{i=0}^{n-1} \int_{\frac{i}{n}}^{\frac{i+1}{n}}f(x)dx-\sum_{i=0}^{n-1}\frac{f(\frac{2i+1}{2n})}{n}\leq \sum_{i=0}^{n-1}\frac{M}{24n^3}$

$\Rightarrow \frac{m}{24n^2} \leq \int_{0}^{1}f(x)dx-\sum_{i=1}^{n}\frac{f(\frac{2i-1}{2n})}{n}\leq \frac{M}{24n^2}$

Aπό DARBOUX για την f''

$\exists c\in(0,1) :f''(c)\frac{1}{24n^2}= \int_{0}^{1}f(x)dx-\sum_{i=1}^{n}\frac{f(\frac{2i-1}{2n})}{n}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Πολύ ωραία και για τους δύο.

Να σημειώσω ότι το σφάλμα στον παραπάνω τύπο είναι το

μισό του σφάλματος στον σύνθετο τύπο του τραπεζίου για προσέγγιση ολοκληρώματος.

Ισότητα για ολοκλήρωμα

Ισότητα για ολοκλήρωμα

Re: Ισότητα για ολοκλήρωμα

Re: Ισότητα για ολοκλήρωμα

Re: Ισότητα για ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση