Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

παραγωγίσημη ώστε υπάρχει M > 0

με $\left | f'(x) \right |\leq M,x\in [a,b]$

1)Να δειχθεί ότι η

είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.

2)Για $x\in [a,b]$ είναι

$f(x)=f(a)+\int_{a}^{x}f'(t)dt$

(εννοείτε ότι τα ολοκληρώματα είναι με την έννοια του Lebesgue)

BAGGP93 · #2

Γεια χαρά. Με $\displaystyle{S}$ θα συμβολίζουμε το σύνολο των απλών συναρτήσεων του $\displaystyle{\left[a,b\right]}$ .

Έστω $\displaystyle{s\in S}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{0\leq s\leq M}$ . Tότε,

$\displaystyle{\int s\,\mathrm{d}\lambda\leq \int M\,\mathrm{d}\lambda=M\,\lambda([a,b])=M\,(b-a)<\infty}$ . Συνεπώς,

$\displaystyle{\sup\,\left\{\int s\,\mathrm{d}\lambda\,\,,s\in S\,\,,0\leq s\leq M\right\}<\infty}$ και αφού,

$\displaystyle{\left\{\int s\,\mathrm{d}\lambda\,,s\in S\,,0\leq s\leq |f'|\right\}\subseteq \left\{\int s \mathrm{d}\lambda\,,s\in S\,,0\leq s\leq M\right\}=\int M\,\mathrm{d}\lambda=M\,(b-a)}$

προκύπτει ότι

$\sup\,{\left\{\int s\,\mathrm{d}\lambda\,,s\in S\,,0\leq s\leq |f'|\right\}\leq \sup\,\left\{\int s \mathrm{d}\lambda\,,s\in S\,,0\leq s\leq M\right\}=M\,(b-a)}$

Άρα, $\displaystyle{\int |f'|\mathrm{d}\lambda\leq M(b-a)<\infty}$ , οπότε η $\displaystyle{f'}$ είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.

2. Αυτό κάνει χρήση του Θεωρήματος Vitali - Kαραθεοδωρή και έχει αρκετά μεγάλη απόδειξη. Έχετε στο νου σας κύριε Στάυρο κάτι άλλο ;

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

BAGGP93 έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 19, 2018 5:03 pm
Γεια χαρά. Με $\displaystyle{S}$ θα συμβολίζουμε το σύνολο των απλών συναρτήσεων του $\displaystyle{\left[a,b\right]}$ .

Έστω $\displaystyle{s\in S}$ τέτοια, ώστε $\displaystyle{0\leq s\leq M}$ . Tότε,

$\displaystyle{\int s\,\mathrm{d}\lambda\leq \int M\,\mathrm{d}\lambda=M\,\lambda([a,b])=M\,(b-a)<\infty}$ . Συνεπώς,

$\displaystyle{\sup\,\left\{\int s\,\mathrm{d}\lambda\,\,,s\in S\,\,,0\leq s\leq M\right\}<\infty}$ και αφού,

$\displaystyle{\left\{\int s\,\mathrm{d}\lambda\,,s\in S\,,0\leq s\leq |f'|\right\}\subseteq \left\{\int s \mathrm{d}\lambda\,,s\in S\,,0\leq s\leq M\right\}=\int M\,\mathrm{d}\lambda=M\,(b-a)}$

προκύπτει ότι

$\sup\,{\left\{\int s\,\mathrm{d}\lambda\,,s\in S\,,0\leq s\leq |f'|\right\}\leq \sup\,\left\{\int s \mathrm{d}\lambda\,,s\in S\,,0\leq s\leq M\right\}=M\,(b-a)}$

Άρα, $\displaystyle{\int |f'|\mathrm{d}\lambda\leq M(b-a)<\infty}$ , οπότε η $\displaystyle{f'}$ είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.

2. Αυτό κάνει χρήση του Θεωρήματος Vitali - Kαραθεοδωρή και έχει αρκετά μεγάλη απόδειξη. Έχετε στο νου σας κύριε Στάυρο κάτι άλλο ;

Γεια σου Ευάγγελε.

Αφού η παράγωγος είναι φραγμένη θα είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν είναι μετρήσιμη.
Εκείνο που πρέπει να δείξουμε είναι ότι είναι μετρήσιμη.

Το 2 ισχύει γενικότερα αν η παράγωγος υπάρχει παντού είναι πεπερασμένη και Lebesgue ολοκληρώσιμη.
(ισως να μπορούν να εξασθενήσουν και άλλο οι προυποθέσεις)

Αυτή η απόδειξη είναι όντως μακροσκελής.

Για το δικό μου το μόνο βαρύ είναι το κυριαρχημένης σύγκλισης.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #4

Επαναφορά.

Υπόδειξη.

Θεωρήστε τις συναρτήσεις $f_{n}(x)=n(f(x+\frac{1}{n})-f(x))$

αφού επεκταθεί η

ώστε να είναι καλά ορισμένες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Βάζω την λύση

Για x>b

θέτουμε

Ετσι οι συναρτήσεις $f_{n}(x)=n(f(x+\frac{1}{n})-f(x))$ είναι καλά ορισμένες στο [a,b]

.

Σαν συνεχείς είναι μετρήσιμες και $f_{n}(x)\rightarrow f'(x)$

Αρα η

είναι μετρήσιμη σαν κατά σημείο όριο μετρησίμων.

Επειδή είναι και φραγμένη είναι Lebesgue ολοκληρώσιμη.

Από Θ.Μ.Τ κάθε $f_{n}$ είναι φραγμένη.

Από το θεώρημα κυριαρχιμένης σύγκλισης έχουμε

$\int_{a}^{b}f_{n}(x)dx\rightarrow \int_{a}^{b}f'(x)dx$ (1)

Αλλά $\int_{a}^{b}f_{n}(x)dx=n\int_{a}^{b}(f(x+\frac{1}{n})-f(x))dx$ (2)

Ευκολα βλέπουμε ότι

$\int_{a}^{b}(f(x+\frac{1}{n})-f(x))dx=\int_{b}^{b+\frac{1}{n}}f(x)dx-\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}f(x)dx$

Αλλά αφού η

είναι συνεχής θα έχουμε

$n\int_{b}^{b+\frac{1}{n}}f(x)dx\rightarrow f(b),n\int_{a}^{a+\frac{1}{n}}f(x)dx\rightarrow f(a)$

παίρνοντας το όριο οι (1),(2) δίνουν το ζητούμενο για x=b

Για τα άλλα

δουλεύουμε στο διάστημα [a,x]

Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου

Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου

Re: Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου

Re: Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου

Re: Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου

Re: Ολοκλήρωση φραγμένης παραγώγου

Μέλη σε σύνδεση