Σελίδα 1 από 1

Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2018 8:46 pm
από argiris95
Να βρεθεί το μερικό άθροισμα της σειράς \sum_{n=0}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)} το οποίο να προσεγγίζει την τιμή του ολοκληρώματος \int_{0}^{1}{sin(x^2)}dx με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων

Δεν έχω ξανά αναντιμετωπίσει τέτοιο πρόβλημα. Η σκέψη μου: \frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}<10^{-3} και μετά λύνεις ως προς n για να βρεις πόσους όρους χρειάζεσαι για τα τρία δεκαδικά.

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2018 9:22 pm
από grigkost
Οι προσεγγίσεις δεν είναι το forte μου, αλλά το θέμα παρουσιάζει ενδιαφέρον. Παραθέτω κάποιες πληροφορίες-ιδέες:

1) πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι

\displaystyle\int_{0}^{1}\sin(x^2)\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,{\rm{FresnelS}}\Big({\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,}\Big)\approx 0,31026830172338110181\,.

2) H σειρά είναι υπεργεωμετρική και το μερικό άθροισμα δεν έχει κλειστό τύπο. Επομένως χρειάζεται να επιλυθεί, ως προς n. η ανισότητα

0,31026830172338110181-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!(4k+3)}<10^{-3}

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2018 9:32 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
argiris95 έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 8:46 pm
Να βρεθεί το μερικό άθροισμα της σειράς \sum_{n=1}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)} το οποίο να προσεγγίζει την τιμή του ολοκληρώματος \int_{0}^{1}{sin(x^2)}dx με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων

Δεν έχω ξανά αναντιμετωπίσει τέτοιο πρόβλημα. Η σκέψη μου: \frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}<10^{-3} και μετά λύνεις ως προς n για να βρεις πόσους όρους χρειάζεσαι για τα τρία δεκαδικά.
Η σειρά που προκύπτει είναι η \sum_{n=0}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}
Η σκέψη σου είναι σωστή.Χωρίς δικαιολόγηση βέβαια.

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2018 9:40 pm
από Λάμπρος Κατσάπας
argiris95 έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 8:46 pm
Να βρεθεί το μερικό άθροισμα της σειράς \sum_{n=1}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)} το οποίο να προσεγγίζει την τιμή του ολοκληρώματος \int_{0}^{1}{sin(x^2)}dx με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων

Δεν έχω ξανά αναντιμετωπίσει τέτοιο πρόβλημα. Η σκέψη μου: \frac{1}{(2n+1)!(4n+3)}<10^{-3} και μετά λύνεις ως προς n για να βρεις πόσους όρους χρειάζεσαι για τα τρία δεκαδικά.
Καταρχάς παρατήρησε ότι η σειρά σου έχει προκύψει από το ανάπτυγμα Taylor της sin(x^2) και ολοκλήρωση αυτής

στο [0,1] όρο προς όρο. Μετά ρίξε μια ματιά στο Θεώρημα Leibniz, στην απόδειξή του συγκεκριμένα, για σειρές με

εναλλάσσων πρόσημο. Θα πρέπει να είσαι σε θέση μετά να αποδείξεις ότι η απόλυτη τιμή του σφάλματος προσέγγισης της

σειράς από το μερικό άθροισμα s_{n} είναι μικρότερη από a_{n+1}.

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2018 9:54 pm
από grigkost
argiris95 έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 8:46 pm
Να βρεθεί το μερικό άθροισμα της σειράς \sum_{n={\color{red}1}}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)} το οποίο να προσεγγίζει την τιμή του ολοκληρώματος \int_{0}^{1}{sin(x^2)}dx με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων..
μετά την απάντηση του Λάμπρου, κατάλαβα ότι στην εκφώνηση υπήρχε το τυπογραφικό λάθος n=1 αντί του ορθού n=0. Γιατί η σειρά \sum_{n=1}^{∞}{(-1)^n\frac{1}{(2n+1)!(4n+3)} ΔΕΝ συγκλίνει στην τιμή του ολοκληρώματος. Για αυτό και η παρατήρηση στην προηγούμενη ανάρτησή μου.

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2018 10:20 pm
από argiris95
grigkost έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 9:22 pm
Οι προσεγγίσεις δεν είναι το forte μου, αλλά το θέμα παρουσιάζει ενδιαφέρον. Παραθέτω κάποιες πληροφορίες-ιδέες:

1) πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι

\displaystyle\int_{0}^{1}\sin(x^2)\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,{\rm{FresnelS}}\Big({\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,}\Big)\approx 0,31026830172338110181\,.

2) H σειρά είναι υπεργεωμετρική και το μερικό άθροισμα δεν έχει κλειστό τύπο. Επομένως χρειάζεται να επιλυθεί, ως προς n. η ανισότητα

0,31026830172338110181-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!(4k+3)}<10^{-3}
Πως ακριβώς θα λύσουμε ως προς n αυτή την ανισότητα εφόσον δεν έχουμε κλειστό τύπο για το άθροισμα?

Re: Προσέγγιση τιμής ολοκληρώματος από σειρά

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Απρ 15, 2018 10:34 pm
από grigkost
argiris95 έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 10:20 pm
grigkost έγραψε:
Κυρ Απρ 15, 2018 9:22 pm
Οι προσεγγίσεις δεν είναι το forte μου, αλλά το θέμα παρουσιάζει ενδιαφέρον. Παραθέτω κάποιες πληροφορίες-ιδέες:

1) πρέπει να θεωρείται δεδομένο ότι

\displaystyle\int_{0}^{1}\sin(x^2)\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,{\rm{FresnelS}}\Big({\sqrt{\frac{\pi}{2}}\,}\Big)\approx 0,31026830172338110181\,.

2) H σειρά είναι υπεργεωμετρική και το μερικό άθροισμα δεν έχει κλειστό τύπο. Επομένως χρειάζεται να επιλυθεί, ως προς n. η ανισότητα

0,31026830172338110181-\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=1}^{n}\frac{(-1)^k}{(2k+1)!(4k+3)}<10^{-3}
Πως ακριβώς θα λύσουμε ως προς n αυτή την ανισότητα εφόσον δεν έχουμε κλειστό τύπο για το άθροισμα?
Αργύρη,
ακριβώς αυτό! Δεν επιλύεται. Η παρατήρησή μου αφορά την σειρά \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)} η οποία ΔΕΝ συγκλίνει στο \int_{0}^{1}\sin(x^2)\,dx (υπάρχει μια διαφορά 0,333333)
Η σωστή σειρά είναι η \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)}, (n=0\ldots\infty) και αυτά που προτείνουν ο Σταύρος και ο Λάμπρος, αφορούν την σειρά \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!(4n+3)} και είναι σωστά.