Σύγκλιση σειράς 104

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2696
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σύγκλιση σειράς 104

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Απρ 16, 2018 1:19 pm

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\bigg(\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}-\sqrt{\kappa}+1}\bigg)


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
sot arm
Δημοσιεύσεις: 139
Εγγραφή: Τρί Μάιος 03, 2016 5:25 pm

Re: Σύγκλιση σειράς 104

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από sot arm » Δευ Απρ 16, 2018 5:06 pm

grigkost έγραψε:
Δευ Απρ 16, 2018 1:19 pm
Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\bigg(\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}-\sqrt{\kappa}+1}\bigg)
Μία αντιμετώπιση...
Έστω:
\displaystyle{a_{n}=\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}+1}}

Θέτω επίσης:
\displaystyle{p_{n}=n(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}})=n(1-\frac{1}{\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}+1})=...=\frac{n}{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}+1}\rightarrow +\infty}

Το τελευταίο προκύπτει με συζυγείς και λίγη άλγεβρα, τώρα από το κριτήριο του Raabe έπεται ότι η σειρά:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n}=\sum_{n=1}^{+\infty}(\prod_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}+1})}

Συγκλίνει.


Αρμενιάκος Σωτήρης
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2696
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύγκλιση σειράς 104

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Απρ 16, 2018 7:45 pm

Η λύση του Σωτήρη είναι ευρηματική και σύντομη. Μια δεύτερη λύση:

Για κάθε x\in\mathbb{R} ισχύει 1-x\leqslant{\rm{e}}^{-x}\quad(1) και για κάθε n\in\mathbb{N} ισχύει -\sum_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa}}\leqslant2-2\sqrt{n}\quad(2).

\begin{aligned} 
\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}-\sqrt{\kappa}+1}&=\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\Big(1-\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}+\sqrt{\kappa}+1}\Big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&\stackrel{(1)}{\leqslant}\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\exp\big(-\tfrac{1}{\sqrt{\kappa+1}+\sqrt{\kappa}+1}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&\leqslant \mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\exp\big(-\tfrac{1}{3\sqrt{\kappa+1}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\exp\big(-\tfrac{1}{3}{\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n}}}\tfrac{1}{\sqrt{\kappa+1}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\exp\big(-\tfrac{1}{3}{\textstyle{\sum_{\kappa=2}^{n+1}}}\tfrac{1}{\sqrt{\kappa}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\exp\big(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}{\textstyle{\sum_{\kappa=1}^{n+1}}}\tfrac{1}{\sqrt{\kappa}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&\stackrel{(2)}{\leqslant}\exp\big(\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{3}\,\big(2-2\sqrt{n+1}\,\big)\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\exp\big(1-\tfrac{2}{3}\sqrt{n+1}\,\big)\,.  
\end{aligned}

Επομένως ισχύει
\begin{aligned} 
0\leqslant\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\bigg(\mathop{\prod}\limits_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}-\sqrt{\kappa}+1}\bigg)\leqslant{\rm{e}}\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}{\rm{e}}^{-\frac{2}{3}\sqrt{n+1}}\quad(3) 
\end{aligned}

Από το λογαριθμικό κριτήριο προκύπτει ότι η σειρά \sum_{n=1}^{\infty}{\rm{e}}^{-\frac{2}{3}\sqrt{n+1}} συγκλίνει. Αλλά τότε, λόγω της (3) και από το κριτήριο σύγκρισης, έπεται ότι και η σειρά \sum_{{n}=1}^{\infty}\big(\prod_{\kappa=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{\kappa+1}-\sqrt{\kappa}+1}\big) συγκλίνει.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης