Σύγκλιση σειράς 105
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Σύγκλιση σειράς 105
Για τις διάφορες τιμές του πραγματικού , να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σύγκλιση σειράς 105
Η σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν
η απόδειξη που έκανα ήταν χρησιμοποιώντας Taylor και το σύμβολο Ο.
Την προσαρμόζω ώστε να γίνει πιο κατανοητή
Θέτουμε
Για
είναι
οπότε δεν έχουμε σύγκλιση.
Για .
Παρατηρούμε ότι αν
τότε είναι
και προφανώς η σειρά συγκλίνει.
Υποθέτουμε ότι
Λογαριθμίζοντας και χρημοποιώντας τις
έχουμε
Αλλά
με οπότε είναι φραγμένη.
Ετσι επειδή
είναι
και το αποτέλεσμα προκύπτει.
Για
Θα δείξουμε ότι δεν συγκλίνει.
Θα χρειαστούμε την .
συμπλήρωμα 19/4/18
Για την απόδειξη και με συγκεκριμένο βλέπε
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 53&t=61574
Σταματάω εδώ γιατί έχω πρόβλημα με το δίκτυο.Θα συνεχίσω αύριο.
Re: Σύγκλιση σειράς 105
Εναλλακτικά, έχουμε ότι:
Το τελευταίο όριο βγαίνει απλά αν παρατηρήσουμε ότι είναι η παράγωγος στο 0 της
Τελειώσαμε από Raabe και προκύπτει ότι συγκλίνει μόνο για και διαφορετικά αποκλίνει.
edit: Δεν καλύπτεται η περίπτωση όπως δείχνεται και παρακάτω στο ποστ
τελευταία επεξεργασία από sot arm σε Πέμ Απρ 19, 2018 7:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Αρμενιάκος Σωτήρης
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σύγκλιση σειράς 105
Καλησπέρα Σωτήρη.
Υπάρχει ένα πρόβλημα ουσιαστικό.
Για το κριτήριο του Raabe δεν δίνει τίποτα. Ετσι πρέπει να λερώσεις τα χέρια σου για .
Υπάρχει και ένα τυπικό πρόβλημα.Για κάποια η μηδενίζεται από κάπου και πέρα.
Ετσι πάλι δεν εφαρμόζεται ο Raabe.Σε αυτή την περίπτωση εύκολα βγαίνει η σύγκλιση.
Τα κριτήρια Raabe ,Kummer, κλπ τα γνώρισα όταν ήμουν μαθητής Λυκείου.
(τότε κάναμε σειρές στο Λύκειο).
Επειδή όλες τις ασκήσεις τις έλυνα χωρίς αυτά τα διέγραψα από την μνήμη μου.
- grigkost
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 3053
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
- Τοποθεσία: Ιωάννινα
- Επικοινωνία:
Re: Σύγκλιση σειράς 105
Θα συμφωνήσω με τον Σωτήρη ότι για την συγκεκριμένη σειρά το κριτήριο Raabe ενδείκνυται. (Αν και οι επιφυλάξεις του Σταύρου είναι βάσιμες, είναι περισσότερο τεχνικές παρά ουσιαστικές). Έτσι:
Αν , τότε
Επειδή
από το κριτήριο Raabe προκύπτει ότι
για η σειρά συγκλίνει και
για η σειρά απειρίζεται.
για το κριτήριο Raabe δεν δίνει συμπέρασμα. Για την σύγκλιση της σειράς :
Για κάθε , ισχύει
Όμως και επειδή, , από την και το κριτήριο σύγκρισης, έπεται ότι . Άρα και .
Αν , τότε
Επειδή
από το κριτήριο Raabe προκύπτει ότι
για η σειρά συγκλίνει και
για η σειρά απειρίζεται.
για το κριτήριο Raabe δεν δίνει συμπέρασμα. Για την σύγκλιση της σειράς :
Για κάθε , ισχύει
Όμως και επειδή, , από την και το κριτήριο σύγκρισης, έπεται ότι . Άρα και .
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σύγκλιση σειράς 105
Συνέχεια .
Για
Είναι
Ετσι
Χρησιμοποιώντας την
παίρνουμε ότι
Επειδή
Τελικά
και προκύπτει το ζητούμενο.
Για
Είναι
Ετσι
Χρησιμοποιώντας την
παίρνουμε ότι
Επειδή
Τελικά
και προκύπτει το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 6 επισκέπτες