Σύγκλιση σειράς 106

#1

Να εξετασθεί, ως προς την σύγκλιση, η σειρά
$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sqrt{n}}{(-1)^n+\sqrt{n}}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)$

dement · #2

Έχουμε (για αρκετά μεγάλα

) $\displaystyle \sum_{k=2n}^{2n+1} \frac{(-1)^{k+1} \sqrt{k}}{(-1)^k + \sqrt{k}} \sin \left( \frac{1}{\sqrt{k}} \right) = \left( \sqrt{2n+1} \sin \left( \frac{1}{\sqrt{2n+1}} \right) - \sqrt{2n} \sin \left( \frac{1}{\sqrt{2n}} \right) \right) \frac{1}{\sqrt{2n+1} - 1} +$

$\displaystyle + \sqrt{2n} \sin \left( \frac{1}{\sqrt{2n}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{2n+1} - 1} - \frac{1}{\sqrt{2n} + 1} \right) \geqslant \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2n+1} - 1} - \frac{1}{\sqrt{2n} + 1} \right) =$

$\displaystyle = \frac{2 + \sqrt{2n} - \sqrt{2n+1}}{2(\sqrt{2n+1}-1)(\sqrt{2n}+1)} \geqslant \frac{1}{2 (\sqrt{2n+1}-1)(\sqrt{2n+1}+1)}} = \frac{1}{4n}$

Οπότε η σειρά αποκλίνει.

#3

Δίνω και την δική μου λύση, ευελπιστώντας να δω κι άλλες.

$\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sqrt{n}}{(-1)^n+\sqrt{n}}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)=\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+1}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)$ .

Αν $\alpha_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+1}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)\,,\; n\in{\mathbb{N}}$ και $\beta_{n}=\frac{1}{1+\sqrt{n}}\,\frac{2}{\pi\sqrt{n}}\,,\; n\in{\mathbb{N}}$ , θα αποδειχθεί ότι, για κάθε $\kappa\in{\mathbb{N}}$ , ισχύει

$\begin{aligned} \alpha_{2\kappa}+\alpha_{2\kappa+1}>\beta_{2\kappa}+\beta_{2\kappa+1}\quad(1) \end{aligned}$

Πράγματι ισχύουν
$\begin{aligned} \frac{(-1)^{2\kappa+1}}{\frac{(-1)^{2\kappa}}{\sqrt{2\kappa}}+1}+\frac{(-1)^{2\kappa+2}}{\frac{(-1)^{2\kappa+1}}{\sqrt{2\kappa+1}}+1}-\Big(\frac{1}{1+\sqrt{2\kappa}}+\frac{1}{1+\sqrt{2\kappa+1}}\Big)&=\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \frac {\sqrt {2\kappa}+\sqrt{2\kappa+1}}{\big(1+\sqrt {2\kappa}\,\big)\big( \sqrt {2\kappa+1}-1\big)}-\frac{2+\sqrt {2\kappa+1}+\sqrt {2\kappa}}{\big( 1+\sqrt {2\kappa}\,\big)\big( 1+\sqrt {2\,\kappa+1}\,\big) }&=\frac{1}{\kappa}>0\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{2\kappa}}\big)&>\frac{2}{\pi\sqrt{2\kappa}}\,,\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{2\kappa+1}}\big)&>\frac{2}{\pi\sqrt{2\kappa+1}}\,. \end{aligned}$

Επομένως(*)
$\begin{aligned} \mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sqrt{n}}{(-1)^n+\sqrt{n}}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)&=\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\alpha_{n}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &\stackrel{(1)}{\geqslant}\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\beta_{n}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\frac{2}{\pi\sqrt{n}\big(1+\sqrt{n}\big)}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &{\geqslant\frac{1}{\pi}\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\frac{1}{n}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=+\infty\,.\end{aligned}$

Σημ: Η σειρά (με αντίθετο πρόσημο) είναι άλυτο πρόβλημα στο P.Biler, A. Witkowski - Problems in Mathematical Analysis.

edit: 10:15, 19/4/2018. (*) Οι ανισότητες, που όντως ισχύουν, ΔΕΝ αποδεικνύουν την (1)

η οποία, ναι μεν, ισχύει, αλλά πρέπει να αποδειχθεί.

#4

Τελικά η σειρά είναι (λυμένη) και στο Kaczor-Nowak, Problems in math. analysis v.1, από όπου παραθέτω την λύση:
(Παρεμπιπτόντως, η λύση του Δημήτρη είναι καταπληκτική)

$\begin{aligned} \displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sqrt{n}}{(-1)^n+\sqrt{n}}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)&=\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\Big(1-\frac{(-1)^n}{(-1)^n+\sqrt{n}}\Big)\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\Big(1-\frac{(-1)^n\big((-1)^n-\sqrt{n}\,\big)}{1-n}\Big)\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\Big(1-\frac{1-(-1)^n\sqrt{n}}{1-n}\Big)\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)+\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)}{n-1}+\mathop{\sum}\limits_{{n}=2}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n-1}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)\,. \end{aligned}$

Από το κριτήριο Leibnitz, προκύπτει ότι οι δυο πρώτες σειρές συγκλίνουν. Η τρίτη σειρά $\sum_{{n}=2}^{\infty}\frac{\sqrt{n}}{n-1}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)$ αποκλίνει (γιατί;).
Άρα και η $\sum_{{n}=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}\sqrt{n}}{(-1)^n+\sqrt{n}}\sin\big(\tfrac{1}{\sqrt{n}}\big)$ αποκλίνει.

Σύγκλιση σειράς 106

Σύγκλιση σειράς 106

Re: Σύγκλιση σειράς 106

Re: Σύγκλιση σειράς 106

Re: Σύγκλιση σειράς 106

Μέλη σε σύνδεση