Σύγκλιση σειράς 107

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Σύγκλιση σειράς 107

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Απρ 20, 2018 3:23 pm

Για a> 0

να εξετάσετε ως προς την σύγκλιση την σειρά

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\cos (\log k)}{k^{a}}



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση σειράς 107

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 20, 2018 3:51 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 3:23 pm
Για a> 0

να εξετάσετε ως προς την σύγκλιση την σειρά

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\cos (\log k)}{k^{a}}
Μία μερική απάντηση στο πολύ ενδιαφέρον θέμα του Σταύρου. Γνωρίζω την απάντηση για \alpha=1. Για \alpha \geq 2 η σειρά συγκλίνει απόλυτα αφού

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left |\frac{\cos (\log n)}{n^\alpha}   \right | \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}}
Για \alpha=1 η σειρά αποκλίνει. Αν \mathcal{B}_1 = x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2} τότε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{1+i}} 
& 
 = \int_{1}^{N} \frac{dt}{t^{1+i}} - \int_{1^{-}}^{N} \frac{dB_{1}(t)}{t^{1+i}} \\ 
&= \frac{i}{N^{i}} - i - \left[ \frac{B_{1}(t)}{t^{1+i}} \right]_{1^{-}}^{N} - (1 + i)\int_{1}^{N} \frac{B_{1}(t)}{t^{2+i}} \, dt \\ 
&= \frac{i}{N^{i}} + \frac{1}{2N^{1+i}} - i + \frac{1}{2} - (1 + i)\int_{1}^{N} \frac{B_{1}(t)}{t^{2+i}} \, dt \\ 
&= \frac{i}{N^{i}}- i + \frac{1}{2} - (1 + i)\int_{1}^{\infty} \frac{B_{1}(t)}{t^{2+i}} \, dt + \mathcal{O} (N^{-1}) 
\end{aligned}}
Παίρνοντας πραγματικά μέρη έχουμε:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{N} \frac{\cos\log n}{n} = \sin\log N + c + \mathcal{O}(N^{-1})}
για κάποια σταθερά c. Παίρνοντας όρια καθώς το N \rightarrow +\infty βλέπουμε ότι η σειρά αποκλίνει. Μάλιστα, η σταθερά c συνδέεται άμεσα με τη συνάρτηση Riemann αφού είναι c= \mathfrak{Re} \zeta(1+i) .

Μένουν οι περιπτώσεις \alpha \in (0, 1) και \alpha \in (1, 2). Εθελοντής ;


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση σειράς 107

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Απρ 20, 2018 5:45 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 3:51 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 3:23 pm
Για a> 0

να εξετάσετε ως προς την σύγκλιση την σειρά

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\cos (\log k)}{k^{a}}
Μία μερική απάντηση στο πολύ ενδιαφέρον θέμα του Σταύρου. Γνωρίζω την απάντηση για \alpha=1. Για \alpha \geq 2 η σειρά συγκλίνει απόλυτα αφού

\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left |\frac{\cos (\log n)}{n^\alpha}   \right | \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha}}
Για \alpha=1 η σειρά αποκλίνει. Αν \mathcal{B}_1 = x - \lfloor x \rfloor - \frac{1}{2} τότε:

\displaystyle{\begin{aligned} 
\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n^{1+i}} 
& 
 = \int_{1}^{N} \frac{dt}{t^{1+i}} - \int_{1^{-}}^{N} \frac{dB_{1}(t)}{t^{1+i}} \\ 
&= \frac{i}{N^{i}} - i - \left[ \frac{B_{1}(t)}{t^{1+i}} \right]_{1^{-}}^{N} - (1 + i)\int_{1}^{N} \frac{B_{1}(t)}{t^{2+i}} \, dt \\ 
&= \frac{i}{N^{i}} + \frac{1}{2N^{1+i}} - i + \frac{1}{2} - (1 + i)\int_{1}^{N} \frac{B_{1}(t)}{t^{2+i}} \, dt \\ 
&= \frac{i}{N^{i}}- i + \frac{1}{2} - (1 + i)\int_{1}^{\infty} \frac{B_{1}(t)}{t^{2+i}} \, dt + \mathcal{O} (N^{-1}) 
\end{aligned}}
Παίρνοντας πραγματικά μέρη έχουμε:

\displaystyle{\sum_{n=1}^{N} \frac{\cos\log n}{n} = \sin\log N + c + \mathcal{O}(N^{-1})}
για κάποια σταθερά c. Παίρνοντας όρια καθώς το N \rightarrow +\infty βλέπουμε ότι η σειρά αποκλίνει. Μάλιστα, η σταθερά c συνδέεται άμεσα με τη συνάρτηση Riemann αφού είναι c= \mathfrak{Re} \zeta(1+i) .

Μένουν οι περιπτώσεις \alpha \in (0, 1) και \alpha \in (1, 2). Εθελοντής ;
Γεια σου Τόλη .

Αν το δεις καλά το έδειξες για a>1

Η ''φυσιλογική'' λύση για a=1 δίνει την λύση και για a<1


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12629
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς 107

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 20, 2018 7:28 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 3:23 pm
Για a> 0

να εξετάσετε ως προς την σύγκλιση την σειρά

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\cos (\log k)}{k^{a}}
.
Βάζω λύση για το κομμάτι που μένει, δηλαδή το 0<a\le  1. Επισημαίνω, όπως ο Σταύρος, ότι η πρώτη γραμμή της λύσης του Τόλη δείχνει
ότι η σειρά συγκλίνει για a>1 (όχι μόνο για τα a\ge 2)

Για κάθε n εξετάζουμε τους φυσικούς αριθμούς στο διάστημα \displaystyle{[e^{2n\pi} , e^{2n\pi +\frac {\pi}{3}}]}. Το πλήθος τους είναι \displaystyle{\approx e^{2n\pi +\frac {\pi}{3}}- e^{2n\pi }= e^{2n\pi }\left (e^ {\frac {\pi}{3}}-1\right )}.
Σε αυτό το διάστημα είναι \displaystyle{2n\pi \le \ln k \le 2n\pi + \frac {\pi}{3}} , άρα
\displaystyle{\cos (\ln k) \ge \cos  \frac {\pi}{3} =\frac {1}{2}}

To άθροισμα των όρων της σειράς σε αυτό το διάστημα είναι (συγκρίνουμε με τον τελευταίο προσθετέο)

\displaystyle{ \ge e^{2n\pi }\left (e^ {\frac {\pi}{3}}-1\right ) \cdot \frac {1}{2}  \cdot \frac {1}{e^{2n\pi+\frac {\pi}{3}  } } = \frac { e^ {\frac {\pi}{3}}-1}{2e^{\frac {\pi}{3}}}=} σταθερό.

Αφού δεν είναι Cauchy, η σειρά αποκλίνει και a=1 και μικρότερα.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση σειράς 107

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 20, 2018 7:51 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 7:28 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 3:23 pm
Για a> 0

να εξετάσετε ως προς την σύγκλιση την σειρά

\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{\cos (\log k)}{k^{a}}
.
Επισημαίνω, όπως ο Σταύρος, ότι η πρώτη γραμμή της λύσης του Τόλη δείχνει ότι η σειρά συγκλίνει για a>1 (όχι μόνο για τα a\ge 2)
Μα βέβαια , αφού η σειρά αυτή συγκλίνει για \alpha > 1. :wallbash_red: :wallbash_red:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 5:45 pm
Η ''φυσιλογική'' λύση για a=1 δίνει την λύση και για a<1
Σταύρο ,

επέλεξα να δώσω αυτή τη λύση για να αναδείξω τη σχέση \displaystyle{\sum_{n=1}^{N} \frac{\cos\log n}{n} = \sin\log N + \mathfrak{Re}\zeta(1+i) + \mathcal{O}(N^{-1})}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση σειράς 107

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Απρ 20, 2018 7:56 pm

Να το πάμε ένα βήμα πιο πέρα; Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά:

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos(\log{n})}{n \log{n}}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12629
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς 107

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Απρ 20, 2018 9:06 pm

Σβήνω την λύση που έγραψα γιατί κάτι δεν πάει καλά. Θα επανέλθω.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση σειράς 107

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Απρ 29, 2018 9:06 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 7:56 pm
Να το πάμε ένα βήμα πιο πέρα; Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά:

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos(\log{n})}{n \log{n}}}
Επαναφορά...

Υπόδειξη: Προσαρμόστε το τρόπο που έδωσα στο #2 ποστ.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3277
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση σειράς 107

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Δευ Απρ 30, 2018 10:12 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Απρ 20, 2018 7:56 pm
Να το πάμε ένα βήμα πιο πέρα; Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά:

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\cos(\log{n})}{n \log{n}}}
Θέτουμε f(x)=\dfrac{\cos (\log x)}{x\log x}

Επειδή (\sin (\log x))'=\frac{\cos (\log x)}{x}

κάνοντας μια παραγοντική έχουμε

\int_{a}^{b}f(x)dx=\dfrac{\sin (\log b)}{\log b}-\dfrac{\sin (\log a)}{\log a}+\int_{a}^{b}\frac{\sin (\log x)}{x(\log x)^{2}}dx(1)

που δείχνει ότι το γενικευμένο συγκλίνει.

Επίσης είναι \left | f'(x) \right |\leq C\dfrac{1}{x^{2}\log x}(2)

γράφουμε \sum_{n=k}^{m-1}f(n)=\sum_{n=k}^{m-1}f(n)-\int_{k}^{m}f(x)dx+\int_{k}^{m}f(x)dx

Είναι \sum_{n=k}^{m-1}f(n)-\int_{k}^{m}f(x)dx=\sum_{n=k}^{m-1}\int_{n}^{n+1}(f(n)-f(x))dx

Αλλά στο [n,n+1] έχουμε λόγω της (2) ότι

\left | f(n)-f(x) \right |=\left | f'(c)(n-x) \right |\leq C\dfrac{1}{n^{2}\log n}

Μαζεύοντας τα παραπάνω παίρνουμε

\left | \sum_{n=k}^{m-1}f(n) \right |\leq \left | \int_{k}^{m} f(x)dx\right |+C\sum_{n=k}^{m-1}\frac{1}{n^{2}\log n}

πού λόγω του κριτήριου του Cauchy η σειρά συγκλίνει.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4444
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Σύγκλιση σειράς 107

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 30, 2018 12:10 pm

Και μία λύση εν αγγλιστί εδώ .


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης