Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4328
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Δευ Απρ 30, 2018 10:02 pm

Ας δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_n^2}{x_1+x_2+ \cdots +x_n} \, \mathrm{d} (x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{2}{3}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4328
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Δεκ 14, 2018 9:28 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Δευ Απρ 30, 2018 10:02 pm
Ας δειχθεί ότι:

\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_n^2}{x_1+x_2+ \cdots +x_n} \, \mathrm{d} (x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{2}{3}}

Δίδουμε μία λύση:


Έστω X_1, X_2 , \dots ανεξάρτητες και ομοιόμορφες στο (0, 1) τυχαίες κατανομές. Από το νόμο των μεγάλων αριθμών έχουμε:

\displaystyle{\begin{matrix}  
\dfrac{X_1+\cdots + X_n}{ n}&\rightarrow & \mathbb{E}(X)= \dfrac{1}{2} \\\\  
\dfrac{X_1^2+\cdots + X^2_n}{n}&\rightarrow & \mathbb{E}(X^2)={1\over 3}  
\end{matrix}}
κατά πιθανότητα καθώς n \rightarrow +\infty. Το πηλίκο των τυχαίων μεταβλητών {X_1^2+\cdots +X^2_n\over X_1+\cdots +X_n} είναι φραγμένο από κάτω από το 0 και από πάνω από το 1. Αυτό εξασφαλίζει τη σύγκλιση του expectation οπότε:

\displaystyle{\mathbb{E}\left({X_1^2+\cdots +X^2_n\over X_1+\cdots +X_n}\right)\rightarrow{2\over 3}}
και το αποτέλεσμα έπεται.


Γενικότερα ισχύει ότι:

\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \, \mathrm{d}(x_1, \dots, x_n) = \mathbb{E}\left [ f \left ( \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n} \right ) \right ]}
καθώς η κατανομή του (X_1, X_2, \dots, X_n) είναι το μέτρο Lebesgue στο [0, 1]^n συνεπώς για κάθε μετρήσιμη συνάρτηση g είναι:

\displaystyle{ \mathbb E(g(X_1,\ldots,X_n))=\iint \limits_{[0,1]^n}g(x_1,\dots,x_n) \; \mathrm d (x_1, \dots, x_n)}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4328
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Δεκ 14, 2018 9:30 pm

Αν έχετε κάποια λύση που αποφεύγει τις πιθανότητες , ευχαρίστως να τη δω...


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες