Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Ας δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_n^2}{x_1+x_2+ \cdots +x_n} \, \mathrm{d} (x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{2}{3}}$

Tolaso J Kos · #2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Δευ Απρ 30, 2018 10:02 pm
Ας δειχθεί ότι:

$\displaystyle{\lim_{n \to +\infty} \int_0^1 \int_0^1 \cdots \int_0^1 \frac{x_1^2+x_2^2+ \cdots +x_n^2}{x_1+x_2+ \cdots +x_n} \, \mathrm{d} (x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{2}{3}}$

Δίδουμε μία λύση:

Έστω $X_1, X_2 , \dots$ ανεξάρτητες και ομοιόμορφες στο (0, 1)

τυχαίες κατανομές. Από το νόμο των μεγάλων αριθμών έχουμε:

$\displaystyle{\begin{matrix} \dfrac{X_1+\cdots + X_n}{ n}&\rightarrow & \mathbb{E}(X)= \dfrac{1}{2} \\\\ \dfrac{X_1^2+\cdots + X^2_n}{n}&\rightarrow & \mathbb{E}(X^2)={1\over 3} \end{matrix}}$
κατά πιθανότητα καθώς $n \rightarrow +\infty$ . Το πηλίκο των τυχαίων μεταβλητών ${X_1^2+\cdots +X^2_n\over X_1+\cdots +X_n}$ είναι φραγμένο από κάτω από το

και από πάνω από το

. Αυτό εξασφαλίζει τη σύγκλιση του expectation οπότε:

$\displaystyle{\mathbb{E}\left({X_1^2+\cdots +X^2_n\over X_1+\cdots +X_n}\right)\rightarrow{2\over 3}}$
και το αποτέλεσμα έπεται.

Γενικότερα ισχύει ότι:

$\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow+\infty} \int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\frac{x_1 + \cdots + x_n}{n}\right) \, \mathrm{d}(x_1, \dots, x_n) = \mathbb{E}\left [ f \left ( \frac{X_1+X_2+\cdots+X_n}{n} \right ) \right ]}$
καθώς η κατανομή του $(X_1, X_2, \dots, X_n)$ είναι το μέτρο Lebesgue στο [0, 1]^n

συνεπώς για κάθε μετρήσιμη συνάρτηση

είναι:

$\displaystyle{ \mathbb E(g(X_1,\ldots,X_n))=\iint \limits_{[0,1]^n}g(x_1,\dots,x_n) \; \mathrm d (x_1, \dots, x_n)}$

Tolaso J Kos · #3

Αν έχετε κάποια λύση που αποφεύγει τις πιθανότητες , ευχαρίστως να τη δω...

Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Re: Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Re: Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση