Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Μάιος 15, 2018 9:47 pm

Έστω f, g:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R} συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε να υπάρχει c >0 με 0<f(x)<c g(x) για κάθε x \in (0, 1). Δείξατε ότι:

\displaystyle{ \lim_{n \rightarrow +\infty} \int_{0}^{1} \cdots \int_{0}^{1} \frac{f(x_1)+\cdots +f(x_n)}{g(x_1)+\cdots+g(x_n)} \, \mathrm{d}(x_1, \dots, x_n) = \left ( \int_{0}^{1} g(x) \, \mathrm{d}x \right )^{-1} \left ( \int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d}x \right )}
Πρέπει να είναι γνωστή άσκηση εκτός και αν τη μπερδεύω με κάποια άλλη αλλά πρέπει να την έχω δει κάπου ... Τέλος πάντων, ενδιαφέρουσα είναι ας τη δούμε.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
dement
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1405
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 10:11 am

Re: Όριο με πολλαπλό ολοκλήρωμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dement » Τρί Μάιος 22, 2018 5:40 pm

Οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς και, ως εκ τούτου, μετρήσιμες και φραγμένες στο [0,1].

Ονομάζουμε:
1. \displaystyle I_f \equiv \int_0^1 f(x) \mathrm{d}x
2. \displaystyle I_g \equiv\int_0^1 g(x) \mathrm{d}x
3. \displaystyle \mathcal{F}_n (\delta) \equiv \left\{ (x_1, ..., x_n) \in [0,1]^n : \left| \frac{f(x_1) + f(x_2) + ... + f(x_n)}{n} - I_f \right| \geqslant \delta \right\}
4. \displaystyle \mathcal{G}_n (\delta) \equiv \left\{ (x_1, ..., x_n) \in [0,1]^n : \left| \frac{g(x_1) + g(x_2) + ... + g(x_n)}{n} - I_g \right| \geqslant \delta \right\}
5. \displaystyle R_n \equiv  \left| \int_0^1 \cdot \cdot \cdot \int_0^1 \frac{f(x_1) + ... f(x_n)}{g(x_1) + ... g(x_n)} \mathrm{d}(x_1,...x_n) - \frac{I_f}{I_g} \right|

Σύμφωνα με το θεώρημα του κεντρικού ορίου, για κάθε \delta > 0 ισχύει \displaystyle \lim_{n \to \infty} \mu \left( \mathcal{F}_n (\delta) \right) = \lim_{n \to \infty} \mu \left( \mathcal{G}_n (\delta) \right) = 0.

Όταν |f(x) - I_f| \leqslant \delta, \ |g(x) - I_g| \leqslant \delta για \displaystyle \delta \leqslant \frac{I_g}{2}, ισχύει \displaystyle \left|\frac{f(x_1) + ... + f(x_n)}{g(x_1) + ... + g(x_n)} - \frac{I_f}{I_g} \right| =  \left|\frac{1/n (f(x_1) + ... + f(x_n))}{1/n (g(x_1) + ... + g(x_n))} - \frac{I_f}{I_g} \right| =

\displaystyle = \left| \frac{(\overline{f(x)} - I_f) I_g + I_f (I_g - \overline{g(x)})}{I_g \overline{g(x)}} \right| \leqslant \frac{2 (M_f + M_g) \delta}{I_g^2}, όπου M_f = \max f(x), \ M_g = \max g(x).

Έτσι, έχουμε \displaystyle 0 \leqslant R_n \leqslant \frac{2 (M_f + M_g) \delta}{I_g^2} + \left( c + \frac{I_f}{I_g} \right) \mu \left( \mathcal{F}_n (\delta) \cup \mathcal{G}_n (\delta) \right) \implies (παίρνοντας n \to \infty)

\displaystyle \implies 0 \leqslant  \liminf_{n \to \infty} R_n \leqslant \limsup_{n \to \infty} R_n \leqslant \frac{2 (M_f + M_g) \delta}{I_g^2}. Αφού το \delta > 0 είναι αυθαίρετο, έπεται \displaystyle \lim_{n \to \infty} R_n = 0.


Δημήτρης Σκουτέρης

Τα μαθηματικά είναι η μοναδική επιστήμη που θα μπορούσε κανείς να εξακολουθήσει να ασκεί αν κάποτε ξυπνούσε και το σύμπαν δεν υπήρχε πλέον.
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης