Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ που ορίζεται ως

$f_{n}(x)=\log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x)\,, \quad n\in\mathbb{N}\,,\quad x\in[2,+\infty)\,.$

grigkost έγραψε: ↑
Τετ Ιουν 13, 2018 10:31 am
Να εξετασθεί ως προς την σημειακή και την ομοιόμορφη σύγκλιση η ακολουθία συναρτήσεων $\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}$ που ορίζεται ως

$f_{n}(x)=\log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x)\,, \quad n\in\mathbb{N}\,,\quad x\in[2,+\infty)\,.$

Για κάθε σταθερό

είναι $\displaystyle { \log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x) = \frac {\ln x }{\ln \lfloor{x}\rfloor n } = \frac {\ln x }{\ln \lfloor{x}\rfloor + \ln n } \to 0$ καθώς $n\to \infty$ . Χρησιμοποίησα οτι $\ln n \to \infty$ καθώς $n\to \infty$ .

Άρα η ακολουθία συγκλίνει κατά σημείο στο 0.

Η σύγκλιση δεν είναι ομοιόμορφη γιατί για κάθε σταθερό

ισχύει

$\displaystyle { \underset{x\ge 2}{\sup} \log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x) = \underset{x\ge 2}{\sup} \frac {\ln x }{\ln \lfloor{x}\rfloor n } \ge \underset{x\ge 2}{\sup} \frac { \ln \lfloor{x}\rfloor }{\ln \lfloor{x}\rfloor n }=\underset{m\ge 2, \, m \in \mathbb N}{\sup} \frac {\ln m }{\ln m + \ln n }= 1$ (Χρησιμοποίησα οτι $\ln m \to \infty$ καθώς $m\to \infty$ )

ή παρόμοια, για κάθε $n\in\mathbb{N}$ :

$\begin{aligned} \sup\big\{\log_{\lfloor{x}\rfloor n}(x)\;\big|\; x\in[2,+\infty)\big\}&\geqslant\log_{\lfloor{n}\rfloor n}(n)\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\log_{n^2}(n)\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\frac{\log({n})}{2\log(n)}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} &=\frac{1}{2}\neq0\,.\end{aligned}$

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Re: Σύγκλιση ακολουθίας συναρτήσεων 09

Μέλη σε σύνδεση