Σύγκλιση σειράς 110

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Σύγκλιση σειράς 110

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Τετ Ιουν 20, 2018 10:44 am

Για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού \alpha, να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς

\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}\,.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
Λάμπρος Κατσάπας
Δημοσιεύσεις: 210
Εγγραφή: Σάβ Ιουν 17, 2017 10:17 pm
Τοποθεσία: Αθήνα

Re: Σύγκλιση σειράς 110

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Λάμπρος Κατσάπας » Τετ Ιουν 20, 2018 9:18 pm

grigkost έγραψε:
Τετ Ιουν 20, 2018 10:44 am
Για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού \alpha, να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς

\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}\,.
Θα δείξουμε ότι η σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν a>1. Πράγματι, για 0<a\leq 1 έχουμε ότι ''τελικά'' \frac{\log{n}}{n^a}\geq \frac{1}{n}

και η απόκλιση της σειρά μας προκύπτει από την απόκλιση της αρμονικής σειράς.

Για a>1 η ακολουθία \frac{\log{n}}{n^a} είναι ''τελικά'' γνησίως φθίνουσα. Πράγματι η συνάρτηση f(x)=\frac{\log x}{x^a}

έχει παράγωγο {f}'(x)=\frac{1-a \log x}{x^{a+1}} και για x>e^{\frac{1}{a}} ισχύει {f}'(x)<0.

Επίσης, για n θετικό ακέραιο ισχύει

\int_{n}^{t}\frac{\log x}{x^a}dx= \int_{n}^{t}\log x{\left ( \frac{x^{1-a}}{1-a} \right )}'dx= \frac{1}{1-a}\left ( \frac{\log t}{t^{a-1}}-\frac{\log n}{n^{a-1}}\right )-\frac{1}{(1-a)^2} \left ( \frac{1}{t^{a-1}}-\frac{1}{n^{a-1}} \right ).

Για t\rightarrow +\infty παίρνουμε \int_{n}^{+\infty }\frac{\log x}{x^a}dx= -\frac{1}{1-a}\frac{\log n}{n^{a-1}} +\frac{1}{(1-a)^2}\frac{1}{n^{a-1}}.

Από το κριτήριο του ολοκληρώματος προκύπτει ότι η σειρά μας συγκλίνει για a>1.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 2002
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σύγκλιση σειράς 110

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Ιουν 20, 2018 9:44 pm

Για b>0 είναι

\ln n=\ln (n^{b})^{\frac{1}{b}}=\frac{1}{b}\ln (n^{b})< \frac{1}{b}(n^{b})

Για a>1 και b=\frac{a-1}{2}>0

έχουμε

0\leq \dfrac{\ln n}{n^{a}}< \frac{1}{b}\frac{n^{b}}{n^{a}}=\frac{1}{b}\frac{1}{n^{a-b}}=\frac{1}{b}\dfrac{1}{n^{\frac{a+1}{2}}}

με \frac{1+a}{2}>1

Αρα για a>1 η σειρά συγκλίνει.


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2692
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Σύγκλιση σειράς 110

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Πέμ Ιουν 21, 2018 1:38 am

Η σειρά είναι γνωστή, την έδωσα για να δοθούν διαφορετικές προσεγγίσεις. Ακόμα μία:

Για την σύγκλιση της σειράς

\begin{aligned} 
\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}2^{n-1}\frac{\log\big(2^{n-1}\big)}{(2^{n-1})^{\alpha}}&=\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{(n-1)\log2}{2^{(\alpha-1)(n-1)}}=\log2\mathop{\sum}\limits_{{n}=0}^{\infty}\frac{n}{2^{(\alpha-1)n}}\,, 
\end{aligned}
προκύπτουν

\begin{aligned} 
\mathop{\lim}\limits_{n\to +\infty}\frac{\frac{n+1}{2^{(\alpha-1))(n+1)}}}{\frac{n}{2^{(\alpha-1)n}}}&=2^{1-\alpha}\mathop{\lim}\limits_{n\to +\infty}\Big(1+\frac{1}{n}\Big)=2^{1-\alpha}\,. 
\end{aligned}
Για \alpha>1\quad\Rightarrow\quad2^{1-\alpha}<1, ενώ για \alpha<1\quad\Rightarrow\quad2^{1-\alpha}>1. Από το κριτήριο D' Alembert προκύπτει ότι η σειρά \sum_{{n}=0}^{\infty}\frac{n}{2^{(\alpha-1)n}} συγκλίνει για \alpha>1, ενώ απειρίζεται για \alpha<1. Τετριμμένα η ίδια σειρά απειρίζεται για \alpha=1. Αλλά τότε, από κριτήριο συμπύκνωσης, τό ίδιο κάνει και η σειρά \sum_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10437
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σύγκλιση σειράς 110

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Ιουν 21, 2018 9:09 am

grigkost έγραψε:
Τετ Ιουν 20, 2018 10:44 am
Για τις διάφορες τιμές του θετικού πραγματικού \alpha, να εξετασθεί η σύγκλιση της σειράς

\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{{n}=1}^{\infty}\frac{\log{n}}{n^{\alpha}}\,.
Η απόκλιση για a\le 1 είναι άμεση (π.χ. με χρήση της \ln n \ge 1). Για σύγκλιση αν a>1 έχουμε:

Είναι γνωστό και απλό ότι για οποιοδήποτε b>0 είναι τελικά  \ln n < n^b. Ένας τρόπος να το δούμε (που λέει και πολλά
περισσότερα) είναι από το \dfrac {\ln x}{x^b}\to 0 καθώς x\to \infty (π.χ. με l' Hospital). Έτσι για θετικό b με 1<a-b έχουμε

\displaystyle{ \frac{\log{n}}{n^{a}} = \frac{\log{n}}{n^{b}}\frac{1}{n^{a-b}} \le \frac{1}{n^{a-b}}}, και λοιπά.


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης