Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

thelegr · #1

Καλημέρα!

Είμαι καινούριος στο υπέροχο forum αυτο, το οποίο βρήκα, αναζητόντας λύση/επεξίγηση σε ένα θέμα εξετάσεων της σχολής μου.

Ψάχνοντας λοιπόν παλαιότερα θέματα (μιάς που πρώτη φορά θα δώσω το μάθημα, έπεσε το μάτι μου σε αυτό το ενδιαφέρον θέμα:

--------------------------------------------------
Στο παρακάτω ολοκλήρωμα, αφού γίνει αλλαγή μεταβλητών u=x^2 + y^2

και

, να υπολογιστεί.

$\int _0^\infty \int _0^\infty\frac{x^2 + y^2}{1+(x^2 - y^2)^2} e^{2xy}dxdy$
--------------------------------------------------

Το ζήτημά μου δεν είναι το πώς λύνεται η άσκηση, αλλα το με ποιόν τρόπο θα φτάσω στο σημέιο να λύσω το 2x2 matrix (καθως, απ ότι έχω καταλάβει, κάπως έτσι πρέπει να λυθεί)... Με λίγα λόγια, έχω κολλήσει και δεν μπορώ να καταλάβω πώς θα έπρεπε να λύσω ως προς x και ως προς y...

Έχει κάποιος καμία ιδέα/hint/πρόταση;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Ανδρέας Μ.

#2

thelegr έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 5:43 am
...Το ζήτημά μου δεν είναι το πώς λύνεται η άσκηση, αλλα το με ποιόν τρόπο θα φτάσω στο σημέιο να λύσω το 2x2 matrix (καθως, απ ότι έχω καταλάβει, κάπως έτσι πρέπει να λυθεί)... Με λίγα λόγια, έχω κολλήσει και δεν μπορώ να καταλάβω πώς θα έπρεπε να λύσω ως προς x και ως προς y...

Ανδρέα, καλώς όρισες στο mathematica.gr.

Γνωρίζεις γιατί πρέπει να λύσεις το σύστημα $u=x^2+y^2,\, v=2xy$ , ως προς

,

;
Όχι πως δεν γίνεται, αλλά δεν είναι απαραίτητο.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

thelegr έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 5:43 am
Καλημέρα!

Είμαι καινούριος στο υπέροχο forum αυτο, το οποίο βρήκα, αναζητόντας λύση/επεξίγηση σε ένα θέμα εξετάσεων της σχολής μου.

Ψάχνοντας λοιπόν παλαιότερα θέματα (μιάς που πρώτη φορά θα δώσω το μάθημα, έπεσε το μάτι μου σε αυτό το ενδιαφέρον θέμα:

--------------------------------------------------
Στο παρακάτω ολοκλήρωμα, αφού γίνει αλλαγή μεταβλητών και , να υπολογιστεί.

$\int _0^\infty \int _0^\infty\frac{x^2 + y^2}{1+(x^2 - y^2)^2} e^{2xy}dxdy$
--------------------------------------------------

Το ζήτημά μου δεν είναι το πώς λύνεται η άσκηση, αλλα το με ποιόν τρόπο θα φτάσω στο σημέιο να λύσω το 2x2 matrix (καθως, απ ότι έχω καταλάβει, κάπως έτσι πρέπει να λυθεί)... Με λίγα λόγια, έχω κολλήσει και δεν μπορώ να καταλάβω πώς θα έπρεπε να λύσω ως προς x και ως προς y...

Έχει κάποιος καμία ιδέα/hint/πρόταση;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Ανδρέας Μ.

Εγω βλέπω ότι το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει.

Δηλαδή αν θέλουμε σώνει και καλά να το υπολογίσουμε είναι $\infty$

Μήπως έχεις κάπου τυπογραφικό;

#4

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 1:08 pm
...Εγω βλέπω ότι το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει.
Δηλαδή αν θέλουμε σώνει και καλά να το υπολογίσουμε είναι $\infty$
Μήπως έχεις κάπου τυπογραφικό;

Συμφωνώ. Η αντικατάσταση των μεταβλητών δεν είναι πρόβλημα. Αλλά, και μετά την αντικατάσταση, το ολοκλήρωμα είναι ανεπίλυτο.
Πρέπει να υπάρχει κάποιο τυπογραφικό. Οι πρώτες γραμμές...

$\begin{aligned} \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2+y^2}{1+(x^2-y^2)^2}\,{\rm{e}}^{2xy}\,dx\,dy&=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{u\,{\rm{e}}^{v}}{1+u^2-v^2}\,\bigg|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigg|\,du\,dv\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{u\,{\rm{e}}^{v}}{1+u^2-v^2}\,\frac{1}{2\sqrt{u^2-v^2}}\,du\,dv\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\ldots\end{aligned}$

thelegr · #5

Ευχαριστώ πάρα πολύ για τις τόσο άμεσες απαντήσεις!

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 8:30 am

thelegr έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 5:43 am
...Το ζήτημά μου δεν είναι το πώς λύνεται η άσκηση, αλλα το με ποιόν τρόπο θα φτάσω στο σημέιο να λύσω το 2x2 matrix (καθως, απ ότι έχω καταλάβει, κάπως έτσι πρέπει να λυθεί)... Με λίγα λόγια, έχω κολλήσει και δεν μπορώ να καταλάβω πώς θα έπρεπε να λύσω ως προς x και ως προς y...
Ανδρέα, καλώς όρισες στο mathematica.gr.

Γνωρίζεις γιατί πρέπει να λύσεις το σύστημα $u=x^2+y^2,\, v=2xy$ , ως προς , ;
Όχι πως δεν γίνεται, αλλά δεν είναι απαραίτητο.

η αλήθεια είναι πως δεν καταλαβαίνω πολλά απο μαθηματικά, συνήθως λύνω τυφλά με βάση την θεωρία και τα παραδείγματα. Οπότε αν δεν σου είναι κόπος να μου εξιγήσεις, θα το εκτιμούσα!

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 1:08 pm

thelegr έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 5:43 am
Καλημέρα!

Είμαι καινούριος στο υπέροχο forum αυτο, το οποίο βρήκα, αναζητόντας λύση/επεξίγηση σε ένα θέμα εξετάσεων της σχολής μου.

Ψάχνοντας λοιπόν παλαιότερα θέματα (μιάς που πρώτη φορά θα δώσω το μάθημα, έπεσε το μάτι μου σε αυτό το ενδιαφέρον θέμα:

--------------------------------------------------
Στο παρακάτω ολοκλήρωμα, αφού γίνει αλλαγή μεταβλητών και , να υπολογιστεί.

$\int _0^\infty \int _0^\infty\frac{x^2 + y^2}{1+(x^2 - y^2)^2} e^{2xy}dxdy$
--------------------------------------------------

Το ζήτημά μου δεν είναι το πώς λύνεται η άσκηση, αλλα το με ποιόν τρόπο θα φτάσω στο σημέιο να λύσω το 2x2 matrix (καθως, απ ότι έχω καταλάβει, κάπως έτσι πρέπει να λυθεί)... Με λίγα λόγια, έχω κολλήσει και δεν μπορώ να καταλάβω πώς θα έπρεπε να λύσω ως προς x και ως προς y...

Έχει κάποιος καμία ιδέα/hint/πρόταση;

Ευχαριστώ εκ των προτέρων

Ανδρέας Μ.

Εγω βλέπω ότι το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει.

Δηλαδή αν θέλουμε σώνει και καλά να το υπολογίσουμε είναι $\infty$

Μήπως έχεις κάπου τυπογραφικό;

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 1:17 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 1:08 pm
...Εγω βλέπω ότι το ολοκλήρωμα δεν συγκλίνει.
Δηλαδή αν θέλουμε σώνει και καλά να το υπολογίσουμε είναι $\infty$
Μήπως έχεις κάπου τυπογραφικό;
Συμφωνώ. Η αντικατάσταση των μεταβλητών δεν είναι πρόβλημα. Αλλά, και μετά την αντικατάσταση, το ολοκλήρωμα είναι ανεπίλυτο.
Πρέπει να υπάρχει κάποιο τυπογραφικό. Οι πρώτες γραμμές...

$\begin{aligned} \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2+y^2}{1+(x^2-y^2)^2}\,{\rm{e}}^{2xy}\,dx\,dy&=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{u\,{\rm{e}}^{v}}{1+u^2-v^2}\,\bigg|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigg|\,du\,dv\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{u\,{\rm{e}}^{v}}{1+u^2-v^2}\,\frac{1}{2\sqrt{u^2-v^2}}\,du\,dv\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\ldots\end{aligned}$

EDIT: Τελικά έχω ένα τυπογραφικό. είναι $\int _0^\infty \int _0^\infty\frac{x^2 + y^2}{1+(x^2 - y^2)^2} e^{-2xy}dxdy$

Εγώ προσωπικά δεν εχω κάνει τυπογραφικό, τώρα αν έχει κάνει ο καθηγητής, δεν το γνωρίζω. τα θέματα είναι τα εξής:

#6

thelegr έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 1:47 pm
...EDIT: Τελικά έχω ένα τυπογραφικό. είναι $\int _0^\infty \int _0^\infty\frac{x^2 + y^2}{1+(x^2 - y^2)^2} e^{-2xy}dxdy$ ...

Επίσης η αντικατάσταση που προτείνει είναι u=x^2-y^2

και όχι

.

Ότι έχω γράψει αρχικά για την αντικατάσταση ισχύει.
Αλλά ας ξαναδούμε το ολοκλήρωμα διορθωμένο...

thelegr · #7

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 1:57 pm

thelegr έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 1:47 pm
...EDIT: Τελικά έχω ένα τυπογραφικό. είναι $\int _0^\infty \int _0^\infty\frac{x^2 + y^2}{1+(x^2 - y^2)^2} e^{-2xy}dxdy$ ...
Επίσης η αντικατάσταση που προτείνει είναι και όχι .

Ότι έχω γράψει αρχικά για την αντικατάσταση ισχύει.
Αλλά ας ξαναδούμε το ολοκλήρωμα διορθωμένο...

Σωστά, το είχα διορθώσει στις δικές μου προσπάθειες και ξέχασα να το διορθώσω και εδώ.

Σύμφωνα όμως με αυτό και αυτά που έγραψες στο πρωηγούμενο post, δεν θα επρεπε να είναι ετσι;

$\begin{aligned} \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2+y^2}{1+(x^2-y^2)^2}\,{\rm{e}}^{2xy}\,dx\,dy&=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{u\,{\rm{e}}^{v}}{1+u^2}\,\bigg|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigg|\,du\,dv\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{u\,{\rm{e}}^{v}}{1+u^2}\,\frac{1}{2\sqrt{u^2-v^2}}\,du\,dv\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\ldots\end{aligned}$

Επίσης, αυτό που στην ουσία δεν έχω καταλάβει, ειναι το πώς ακριβώς θα φτάσουμε εδώ
$\frac{1}{2\sqrt{u^2-v^2}}$

#8

Μια επίλυση:

Κατά αρχήν, όπως ανέφερα και παραπάνω, δεν είναι απαραίτητο να λύσουμε το σύστημα αντικαταστάσεων ως προς $x,\,y$ . Παρατηρούμε ότι

$\begin{aligned} \bigg|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigg|&=\bigg|\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\bigg|^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\bigg|\begin{array}{cr} 2x & -2y\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 2y & 2x \end{array}\bigg|^{-1}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{4\,(x^2+y^2)}\,. \end{aligned}$
Την Ιακωβιανή ορίζουσα την χρειαζόμαστε στην αντικατάσταση των μεταβλητών στο ολοκλήρωμα, αλλά μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι αφού ισούται με $\frac{1}{4\,(x^2+y^2)}$ θα απλοποιηθεί με το x^2+y^2

και έτσι δεν είναι απαραίτητο να την εκφράσουμε ως προς $u,\,v$ , ως θα οφείλαμε. Έτσι

$\begin{aligned} \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty}\frac{x^2+y^2}{1+(x^2-y^2)^2}\,{\rm{e}}^{-2xy}\,dx\,dy&\stackrel{(*)}{=}\frac{1}{4}\int_{0}^{+\infty}\int_{{\color{red}{-\infty}}}^{+\infty}\frac{{\rm{e}}^{-v}}{1+u^2}\,du\,dv\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{4}\int_{0}^{+\infty}{\rm{e}}^{-v}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+u^2}\,du\,dv\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{1}{4}\int_{0}^{+\infty}{\rm{e}}^{-v}\pi\,dv\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{\pi}{4}\int_{0}^{+\infty}{\rm{e}}^{-v}\,dv\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{\pi}{4}\cdot1\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\frac{\pi}{4}\,. \end{aligned}$ Αποφεύγουμε να γράψουμε

$(*)\quad\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{(x^2+y^2)\,{\rm{e}}^{-v}}{1+u^2}\,\bigg|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\bigg|\,du\,dv$

thelegr έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 5:43 am
...η αλήθεια είναι πως δεν καταλαβαίνω πολλά απο μαθηματικά, συνήθως λύνω τυφλά με βάση την θεωρία και τα παραδείγματα. ...

Ανδρέα, αυτό δεν είναι επαρκές για να μάθει κάποιος μαθηματικά. Μάλιστα, αυτή η αντιμετώπιση δημιουργεί τελικά περισσότερα προβλήματα από όσα "φαίνεται" ότι λύνει. Προσπάθησε περισσότερο λοιπόν...

edit: 15:10, 25/6/2018. Μετά από μήνυμα του Σταύρου Παπαδόπουλου (τον οποίο και ευχαριστώ!) διορθώθηκε το κάτω άκρο ολοκλήρωσης ως προς

από

σε $-\infty$ .

thelegr · #9

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 2:23 pm

thelegr έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 5:43 am
...η αλήθεια είναι πως δεν καταλαβαίνω πολλά απο μαθηματικά, συνήθως λύνω τυφλά με βάση την θεωρία και τα παραδείγματα. ...
Ανδρέα, αυτό δεν είναι επαρκές για να μάθει κάποιος μαθηματικά. Μάλιστα, αυτή η αντιμετώπιση δημιουργεί τελικά περισσότερα προβλήματα από όσα "φαίνεται" ότι λύνει. Προσπάθησε περισσότερο λοιπόν...

Σε αυτό συμφωνώ και επαυξάνω, Αυτός είναι και ο λόγος που δεν ήρθα εδώ ζητώντας λύση στην παραπάνω άσκηση, αλλά μία επεξήγηση για το πώς ακριβώς θα φέρναμε τις συναρτήσεις του u και του v, σε κατάσταση ώστε να μπορούμε να κάνουμε ιακωβιανη οριζουσα. Ή για να το θέσω πιο σωστά γιατί Από ότι καταλαβαίνω αυτή είναι η απορία μου, Πώς ακριβώς λειτουργεί η ιακωβιανη οριζουσα και τι χρειάζεται να έχουμε για να τη χρησιμοποιήσουμε!

Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για το χρόνο που αφιερώνετε βοηθώντας με!

edit: εννοούσα πως υπάρχουν πολλοί τομείς με των μαθηματικών (με τους οποίους έχω ασχοληθεί) τους οποίους δεν έχω πλήρως κατανοήσει η/και δυσκολεύομαι να κατανοήσω.

#10

thelegr έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 25, 2018 3:22 pm
...Ή για να το θέσω πιο σωστά γιατί Από ότι καταλαβαίνω αυτή είναι η απορία μου, Πώς ακριβώς λειτουργεί η ιακωβιανη οριζουσα και τι χρειάζεται να έχουμε για να τη χρησιμοποιήσουμε!..

Περιγράφουμε το θεώρημα αλλαγής μεταβλητών ολοκλήρωσης στον $\mathbb{R}^2$ . Παρόμοιο θεώρημα ισχύει και για αλλαγής μεταβλητών στον $\mathbb{R}^n$ . Η θεωρία άλλωστε υπάρχει σε κάθε βιβλίο λογισμού πολλών μεταβλητών:

Έστω ότι για την ολοκληρώσιμη συνάρτηση $f:U\subseteq\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}$ θέλουμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα $\mathop{\iint}_{U}{f(x,y)\,d(x,y)}$ και για κάποιον λόγο θέλουμε να κάνουμε αντικατάσταση των μεταβλητών x,y

, με τις μεταβλητές u,v

.

Μια αντικατάσταση μεταβλητών στον $\mathbb{R}^2$ είναι μια 1-1 και συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση

$\begin{aligned} &\overline{g}:T\subset{\mathbb{R}}^2\longrightarrow \overline{g}(T)=U\subset{\mathbb{R}}^2\,,\quad &\overline{g}(u,v)= \biggl({\begin{array}{c} x(u,v)\\\noalign{\vspace{0.05cm}} y(u,v) \end{array}}\biggr)\,,\quad (u,v)\in T\,. \end{aligned}$

Η Ιακωβιανή ορίζουσα ορίζεται ως η ορίζουσα του διαφορικού ${{\bf{D}}\,\overline{g}$ της $\overline{g}$ : $\displaystyle\bigl|{{\bf{D}}\,\overline{g}(u,v)}\bigr|=\biggl|{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}\biggr|$ .

Ισχύει
$\begin{aligned} \displaystyle\mathop{\iint}\limits_{U}{f(x,y)\,d(x,y)}&=\mathop{\iint}\limits_{\overline{g}^{\,-1}(U)}{f\big(\overline{g}(u,v)\big)\,\Bigl|\bigl|{{\bf{D}}\,\overline{g}(u,v)}\bigr|\Bigr|\,d(u,v)}=\mathop{\iint}\limits_{\overline{g}^{\,-1}(U)}{f\big(x(u,v),y(u,v)\big)\,\biggl|\Bigl|{\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}}\Bigr|\biggr|\,d(u,v)}\,. \end{aligned}$

Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Re: Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Re: Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Re: Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Re: Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Re: Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Re: Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Re: Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Re: Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Re: Διπλό ολοκλήρωμα και αλλαγή μεταβλητών. Κάτι δεν βλέπω μαλλον...

Μέλη σε σύνδεση