Κλειστός τύπος ;

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4297
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Κλειστός τύπος ;

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Ιουν 29, 2018 12:53 pm

Έστω \nu \in \mathbb{N}. Να βρεθεί ένας κλειστός ( αν υπάρχει ) για το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^{\pi/2} x \sin^{\nu-1} x \, {\rm d}x}
Άνευ απαντήσεως.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2874
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Κλειστός τύπος ;

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Ιουν 29, 2018 2:42 pm

Υπάρχει. Ισχύει

x\,\sin^n{x}=\begin{cases} 
2^{1-n}\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}(-1)^{\frac{n-1}{2}-k}\binom{n}{k}\,x\sin\big((n-2k)x\big)\,, & n\;{\text{\gr περιττός}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
2^{-n}\displaystyle\binom{n}{\frac{n}{2}}\,x+2^{1-n}\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}(-1)^{\frac{n}{2}-k}\binom{n}{k}\,x\cos\big((n-2k)x\big)\,, & n\;{\text{\gr άρτιος}\end{cases}

Τα αντίστοιχα ολοκληρώματα υπολογίζονται εύκολα:

\begin{aligned} 
\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\,\sin\big((n-2k)x\big)\,dx&=\frac { (-1)^{k+\frac{n-1}{2}}}{(n-2k)^2}\,, & n\;{\text{\gr περιττός}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\,\cos\big((n-2k)x\big)\,dx&={\frac {-1+(-1)^{k+\frac{n}{2}}}{(n-2k)^{2}}}\,, & n\;{\gr \text{άρτιος} 
\end{aligned} Επομένως

\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\,\sin^n{x}=\begin{cases} 
2^{1-n}\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{\frac{n-1}{2}}\binom{n}{k}\frac { 1}{(n-2k)^2}\,, & n\;{\text{\gr περιττός}\\\noalign{\vspace{0.2cm}} 
	2^{-n}\displaystyle\binom{n}{\frac{n}{2}}\,\frac{\pi^2}{8}+2^{1-n}\mathop{\sum}\limits_{k=0}^{\frac{n}{2}-1}\binom{n}{k}\frac {(-1)^{\frac{n}{2}-k+1}+1}{(n-2k)^{2}}\,, & n\;{\text{\gr άρτιος}\end{cases}



Υ.Γ. Μπορεί να "ενοποιηθεί" το αποτέλεσμα, ώστε να υπάρχει ένας τύπος για όλους τους n\in\mathbb{N} ;


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης