Όριο με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} e^{-n} \; {\rm lcm} (1, 2, \dots, n)}$ όπου ${\rm lcm}$ το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο.

dement · #2

Τόλη, πού την ψάρεψες; Αν δεν κάνω λάθος είναι γνωστό αποτέλεσμα από τις ιδιότητες της δεύτερης συνάρτησης Chebyshev ότι το όριο δεν υπάρχει. Συγκεκριμένα, υπάρχει υπακολουθία που τείνει στο $+ \infty$ και υπακολουθία που τείνει στο

.

Tolaso J Kos · #3

Χαλό Δημήτρη,

μου προέκυψε. Διόρθωσε με αν κάνω λάθος. Είναι γνωστό ότι $\displaystyle{{\rm lcm}(1,2 ,\dots,n) = e^{\psi(n)}}$ όπου $\psi$ η συνάρτηση Chebyshev. Από την άλλη όμως έχουμε $\displaystyle{\psi(n) \sim n + o(n)}$ . Αυτό είναι ικανό να δώσει ότι το όριο δεν υπάρχει ; ! Νομίζω ναι.

dement · #4

Ακριβώς γι'αυτό, αν ζητούσες το όριο της

-οστής ρίζας της δεδομένης παράστασης δεν θα υπήρχε πρόβλημα. Κάνω λάθος;

Tolaso J Kos · #5

Ωραία... ας το κάνουμε reformulation. Ας δούμε το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{e^{-n} {\rm lcm} (1,2, \dots, n)}}$
Ας μείνει και κάτι από αυτή τη συζήτηση.

#6

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 14, 2018 11:37 am
Ωραία... ας το κάνουμε reformulation. Ας δούμε το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} \sqrt[n]{e^{-n} {\rm lcm} (1,2, \dots, n)}}$
Ας μείνει και κάτι από αυτή τη συζήτηση.

Τόλη, προς τι η ερώτηση αφού ουσιαστικά το έχεις απαντήσει στο ποστ #3 παραπάνω: Είναι $\displaystyle{{\rm lcm}(1,2 ,\dots,n) = e^{\psi(n)}}$ και $\displaystyle{\psi(n) \sim n + o(n)}$ δηλαδή $\displaystyle{\psi(n) = n + c_nn}$ όπου $c_n\to 0$ . Άρα

$\displaystyle{ \sqrt[n]{e^{-n} {\rm lcm} (1,2, \dots, n)}}= e^{c_n}\to 1$

Tolaso J Kos · #7

Όντως... δε το πρόσεξα!! Thanks!

Όριο με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Όριο με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Re: Όριο με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Re: Όριο με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Re: Όριο με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Re: Όριο με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Re: Όριο με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Re: Όριο με ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο

Μέλη σε σύνδεση