Σελίδα 1 από 1

Χαρακτηρισμός αύξουσας

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:18 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Εστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

συνεχής συνάρτηση.

Θέτουμε E=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}

Να δειχθεί ότι

η f είναι αύξουσα αν και μόνο αν το f(E) δεν περιέχει διάστημα.

Σημείωση.Είναι D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 31, 2018 1:27 pm
από mikemoke
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:18 pm
Εστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

συνεχής συνάρτηση.


Θέτουμε E=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}

Να δειχθεί ότι

η f είναι αύξουσα αν και μόνο αν το f(E) δεν περιέχει διάστημα.

Σημείωση.Είναι D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}

(\Rightarrow )
f αύξουσα
\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0
 \Rightarrow sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0
\Rightarrow \forall x\in [a,b) D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0

E\equiv \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \wedge D^{+}f(x)\geq 0  \right \}= 
\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \right \}

Έστω \kappa ,\lambda \in [a,b] ,\kappa <\lambda : f(\kappa )<f(\lambda  )\wedge [f(\kappa ),f(\lambda )]\subseteq f(E) 
\Rightarrow f([\kappa ,\lambda ]) \subseteq f(E)\Rightarrow [\kappa ,\lambda ]\subseteq E

\forall x\in [\kappa ,\lambda ] h(x)\equiv \frac{f(\lambda )-f(\kappa )}{\lambda -\kappa }(x-\kappa )+f(\kappa )
h συνεχής
Από ΘΜΕΤ  \exists x_0\in [\kappa ,\lambda ]: \forall x\in [\kappa ,\lambda ] h(x)\leq h(x_0)\Rightarrow \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x_0+h)-h(x_0)}{h}\leq 0
 \Rightarrow \frac{f(\lambda )-f(\kappa )}{\lambda -\kappa }-0\leq 0 \Rightarrow f(\lambda )\leq f(\kappa )
ΑΤΟΠΟ ( f(\kappa )<f(\lambda  ))

Άρα f(E) δεν περιέχει διαστήματα


(\Leftarrow )
f(E) δεν περιέχει διαστήματα

Έστω x_1,x_2\in [a,b] : x_1<x_2 \wedge f(x_1)>f(x_2)
Από ΘΕΤ έχουμε:
\forall \eta \in [f(x_2),f(x_1))\exists \xi \in [x_1,x_2):f(\xi )=\eta
H\equiv \left \{ x\in[x_1,x_2)|f(x)=\eta \right \}\neq \varnothing
Αποδεικνύεται από την συνέχεια της f ότι :
\forall \eta \in [f(x_2),f(x_1)) ( x_1\leq supH<x_2 \wedge (\exists x(\eta )\in H : x(\eta )=supH))

Άρα \forall x\in [ x(\eta ),x_2] f(x)\leq f(x(\eta )) \Rightarrow  
\frac{f(x)-f(x(\eta ))}{x-x(\eta )}\leq 0 \Rightarrow
\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\leq 0
Άρα \forall \eta \in[f(x_2),f(x_1)) \exists x(\eta )\in [x_1,x_2): lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x(\eta)+h)-f(x(\eta))}{h}:0< h< \delta \right \}\leq 0
[f(x_2),f(x_1))\subseteq E
ΑΤΟΠΟ
Άρα \forall x_1,x_2\in [a,b](x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2))

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 31, 2018 5:30 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
mikemoke έγραψε:
Τρί Ιούλ 31, 2018 1:27 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:18 pm
Εστω f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}

συνεχής συνάρτηση.


Θέτουμε E=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}

Να δειχθεί ότι

η f είναι αύξουσα αν και μόνο αν το f(E) δεν περιέχει διάστημα.

Σημείωση.Είναι D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}

(\Rightarrow )
f αύξουσα
\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0
 \Rightarrow sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0
\Rightarrow \forall x\in [a,b) D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0

E\equiv \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \wedge D^{+}f(x)\geq 0  \right \}= 
\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \right \}

Έστω \kappa ,\lambda \in [a,b] ,\kappa <\lambda : f(\kappa )<f(\lambda  )\wedge [f(\kappa ),f(\lambda )]\subseteq f(E) 
\Rightarrow f([\kappa ,\lambda ]) \subseteq f(E)\Rightarrow [\kappa ,\lambda ]\subseteq E

\forall x\in [\kappa ,\lambda ] h(x)\equiv \frac{f(\lambda )-f(\kappa )}{\lambda -\kappa }(x-\kappa )+f(\kappa )
h συνεχής
Από ΘΜΕΤ  \exists x_0\in [\kappa ,\lambda ]: \forall x\in [\kappa ,\lambda ] h(x)\leq h(x_0)\Rightarrow \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x_0+h)-h(x_0)}{h}\leq 0
 \Rightarrow \frac{f(\lambda )-f(\kappa )}{\lambda -\kappa }-0\leq 0 \Rightarrow f(\lambda )\leq f(\kappa )
ΑΤΟΠΟ ( f(\kappa )<f(\lambda  ))

Άρα f(E) δεν περιέχει διαστήματα


(\Leftarrow )
f(E) δεν περιέχει διαστήματα

Έστω x_1,x_2\in [a,b] : x_1<x_2 \wedge f(x_1)>f(x_2)
Από ΘΕΤ έχουμε:
\forall \eta \in [f(x_2),f(x_1))\exists \xi \in [x_1,x_2):f(\xi )=\eta
H\equiv \left \{ x\in[x_1,x_2)|f(x)=\eta \right \}\neq \varnothing
Αποδεικνύεται από την συνέχεια της f ότι :
\forall \eta \in [f(x_2),f(x_1)) ( x_1\leq supH<x_2 \wedge (\exists x(\eta )\in H : x(\eta )=supH))

Άρα \forall x\in [ x(\eta ),x_2] f(x)\leq f(x(\eta )) \Rightarrow  
\frac{f(x)-f(x(\eta ))}{x-x(\eta )}\leq 0 \Rightarrow
\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\leq 0
Άρα \forall \eta \in[f(x_2),f(x_1)) \exists x(\eta )\in [x_1,x_2): lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\leq 0
[f(x_2),f(x_1))\subseteq E
ΑΤΟΠΟ
Άρα \forall x_1,x_2\in [a,b](x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2))
Για το (\Rightarrow ) υπάρχει πρόβλημα στο

 f([\kappa ,\lambda ]) \subseteq f(E)\Rightarrow [\kappa ,\lambda ]\subseteq E

και παρακάτω στο αν τύχει να είναι x_{0}=\lambda

Το (\Leftarrow ) είναι εντάξει εκτός των τυπογραφικών :

στα  lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\leq 0

αντί για x πρέπει να βάλουμε x(\eta ).

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 02, 2018 4:56 pm
από mikemoke
(\Rightarrow )

T\equiv \left \{ x\in [a,b]|\exists y\in [a,b]-\left \{ x \right \} :f(x)=f(y) \right \}
\forall \eta\in f(T) T_\eta\equiv \left \{ x\in T |f(x)=\eta \right \}
Από τον ορισμό των T,T_\eta την συνέχεια της f και ότι είναι αύξουσα προκύπτει ότι :
\forall \eta\in f(T) (\inf T_ \eta< \sup T_ \eta\wedge T_\eta=[\inf T_\eta,\sup T_\eta]
Άρα T=\bigcup_{\eta \in f(T)}[\inf T_\eta,\sup T_\eta]
Από Lindelof : f(T) αριθμήσιμο
Άρα \exists (\eta _n)|\mathbb{N} \mapsto f(T) 1-1 και επί
\Rightarrow T=\bigcup_{i=1}^{\infty} T_{n_i}

Έστω c,d \in [a,b] , c<d: f(c)<f(d)\wedge [f(c),f(d)]\subseteq f(E)

Tότε T πυκνό στο [c,d] αφού \nexists ([p,q]\subseteq [c,d]\wedge [p,q]\cap T=\varnothing ) (*)

\forall n\in\mathbb{N}S_n\equiv (\bigcup_{i=1}^{n}T_{\eta _i})\cap [c,d]\wedge J_n\equiv S_n^{C}\cap [c,d]=\bigcup_{i=1}^{k(n)}W_i
όπου W_i ανοιχτό διάστημα \forall i\in \mathbb{N}\wedge \forall i\neq j \in\mathbb{N}W_i\cap W_j=\varnothing
x\in T^{C}\cap [c,d]\Leftrightarrow \exists (k_n)|\mathbb{N} \mapsto \mathbb{N} , k_n\rightarrow \infty:\bigcap_{\infty}^{i=1}W_{k_i}=x
Ορίζουμε F την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των x\in T^{C}\cap [c,d] στο σύνολο K\equiv \left \{ (k_n)|\mathbb{N} \mapsto \mathbb{N} :k_n\rightarrow \infty \right \}
Ισχύει ότι (\forall x\neq y\in T^{C}\cap [c,d] F(x)\neq F(y)) \Leftrightarrow F:1-1
|T^{C}\cap [c,d]|=|F(T^{C}\cap [c,d])|\leq |K|\leq |\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=\aleph_0
f:1-1 στο T^{C}\cap [c,d] \Rightarrow |T^{C}\cap [c,d]|=f(|T^{C}\cap [c,d]|)
f(T^{C}\cap [c,d]) αριθμήσιμο και f(T \cap [c,d]) αριθμήσιμο
Άρα f([c,d]) αριθμήσιμο ΑΤΟΠΟ f([c,d]) διάστημα .

(*) Tότε f:1-1 στο [p,q]
f([p,q])\subseteq f([c,d])\subseteq f(E) \wedge f:1-1\Rightarrow [p,q]\subseteq E

\forall x\in [p,q ] h(x)\equiv \frac{f(q )-f(p)}{q-p}(x-p )+f(p)-f(x)
h(p )=0=h(q)
Από ΘΜΕΤ: \exists x_0\in[p ,q ]:\forall x\in [p,q] h(x)\leq h(x_0)
x=p \Rightarrow h(x_0)\geq h(p )=h(q)=0 \Rightarrow x_0\in [p,q)
Άρα \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x_0+h)-h(x_0)}{h}\leq 0
 \Rightarrow \frac{f(q )-f(p )}{q -p}-0\leq 0 \Rightarrow f(q)\leq f(p )
ΑΤΟΠΟ ( f(p)<f(q  ))

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 05, 2018 3:48 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Η κατεύθυνση \Leftarrow αποδίδεται στον A.Zygmund.
Την κατεύθυνση \Rightarrow
από ένα πρόχειρο ψάξιμο σε ''παλιά'' βιβλία δεν την βρήκα.
Δεν μπορεί θα είναι γνωστή ίσως σε μια ισχυρότερη μορφή.
Αξίζουν συγχαρητήρια στον mikemoke μόνο και μόνο που ασχολείται με το θέμα.
Ηδη την μια κατεύθυνση την έχει αποδείξει.


mikemoke έγραψε:
Πέμ Αύγ 02, 2018 4:56 pm

Ορίζουμε F την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των x\in T^{C}\cap [c,d] στο σύνολο K\equiv \left \{ (k_n)|\mathbb{N} \mapsto \mathbb{N} :k_n\rightarrow \infty \right \}
Ισχύει ότι (\forall x\neq y\in T^{C}\cap [c,d] F(x)\neq F(y)) \Leftrightarrow F:1-1
|T^{C}\cap [c,d]|=|F(T^{C}\cap [c,d])|\leq |K|\leq |\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=\aleph_0
f:1-1 στο T^{C}\cap [c,d] \Rightarrow |T^{C}\cap [c,d]|=f(|T^{C}\cap [c,d]|)
f(T^{C}\cap [c,d]) αριθμήσιμο και f(T \cap [c,d]) αριθμήσιμο
Άρα f([c,d]) αριθμήσιμο ΑΤΟΠΟ f([c,d]) διάστημα.
Δεν μπορώ να δω γιατί το σύνολο K είναι αριθμήσιμο.Για υπεραριθμήσιμο το βλέπω.
Ισως να είναι κάτι άλλο.

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 05, 2018 5:12 pm
από mikemoke
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Κυρ Αύγ 05, 2018 3:48 pm
Η κατεύθυνση \Leftarrow αποδίδεται στον A.Zygmund.
Την κατεύθυνση \Rightarrow
από ένα πρόχειρο ψάξιμο σε ''παλιά'' βιβλία δεν την βρήκα.
Δεν μπορεί θα είναι γνωστή ίσως σε μια ισχυρότερη μορφή.
Αξίζουν συγχαρητήρια στον mikemoke μόνο και μόνο που ασχολείται με το θέμα.
Ηδη την μια κατεύθυνση την έχει αποδείξει.


mikemoke έγραψε:
Πέμ Αύγ 02, 2018 4:56 pm

Ορίζουμε F την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των x\in T^{C}\cap [c,d] στο σύνολο K\equiv \left \{ (k_n)|\mathbb{N} \mapsto \mathbb{N} :k_n\rightarrow \infty \right \}
Ισχύει ότι (\forall x\neq y\in T^{C}\cap [c,d] F(x)\neq F(y)) \Leftrightarrow F:1-1
|T^{C}\cap [c,d]|=|F(T^{C}\cap [c,d])|\leq |K|\leq |\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=\aleph_0
f:1-1 στο T^{C}\cap [c,d] \Rightarrow |T^{C}\cap [c,d]|=f(|T^{C}\cap [c,d]|)
f(T^{C}\cap [c,d]) αριθμήσιμο και f(T \cap [c,d]) αριθμήσιμο
Άρα f([c,d]) αριθμήσιμο ΑΤΟΠΟ f([c,d]) διάστημα.
Δεν μπορώ να δω γιατί το σύνολο K είναι αριθμήσιμο.Για υπεραριθμήσιμο το βλέπω.
Ισως να είναι κάτι άλλο.
Ναι υπάρχει λάθος ,αφού |K|\leq \aleph_0^{\aleph_0}=c(http://mathworld.wolfram.com/Aleph-0.html, http://mathworld.wolfram.com/Continuum.html)Άρα το K μπορεί να είναι και υπεραριθμήσιμο.
Θα την ξαναπροσπαθήσω , έχει ενδιαφέρον .

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 10, 2018 2:15 pm
από mikemoke
Μια ακόμη προσπάθεια.
(\Rightarrow )
f αύξουσα
\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0
 \Rightarrow \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq \inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0
\Rightarrow \forall x\in [a,b) D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}} \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}
\geq \lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq0

E\equiv \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \wedge D^{+}f(x)\geq 0  \right \}= 
\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \right \}=
 \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \wedge  0\geq \lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq0  \right \} =
\left \{ x\in [a,b):\lim_{h \rightarrow 0^{+}}  \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= 0 \right \}

T\equiv \left \{ x\in [a,b]|\exists y\in [a,b]-\left \{ x \right \} :f(x)=f(y) \right \}
\forall \eta\in f(T) T_\eta\equiv \left \{ x\in T |f(x)=\eta \right \}
Από τον ορισμό των T,T_\eta την συνέχεια της f και ότι είναι αύξουσα προκύπτει ότι :
\forall \eta\in f(T) (\inf T_ \eta< \sup T_ \eta\wedge T_\eta=[\inf T_\eta,\sup T_\eta]
Άρα T=\bigcup_{\eta \in f(T)}[\inf T_\eta,\sup T_\eta]

Έστω (c,d \in [a,b] \wedge  c<d \wedge f(c)<f(d)\wedge [f(c),f(d)]\subseteq f(E)) πρόταση (p)

Tότε T πυκνό στο [c,d] αφού \nexists ([p,q]\subseteq [c,d]\wedge [p,q]\cap T=\varnothing ) (*)
(*)Αν υπάρχει τότε f:1-1 στο [p,q]
f([p,q])\subseteq f([c,d])\subseteq f(E) \wedge f:1-1\Rightarrow [p,q]\subseteq E


\forall x\in [p,q ] h(x)\equiv \frac{f(q )-f(p)}{q-p}(x-p )+f(p)-f(x)
h(p )=0=h(q)
Από ΘΜΕΤ: \exists x_0\in[p ,q ]:\forall x\in [p,q] h(x)\leq h(x_0)
x=p \Rightarrow h(x_0)\geq h(p )=h(q)=0 \Rightarrow x_0\in [p,q)
Άρα \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x_0+h)-h(x_0)}{h}\leq 0
 \Rightarrow \frac{f(q )-f(p )}{q -p}-0\leq 0 \Rightarrow f(q)\leq f(p )
ΑΤΟΠΟ ( f(p)<f(q  ))

Θα αποδείξουμε ότι f(T) είναι πυκνό στο [c,d]
Έστω y_1,y_2\in [f(c),f(d)] \wedge y_1<y_2 \wedge [y_1,y_2]\cap f(T)=\varnothing
f συνεχής και αύξουσα στο [c,d] .Άρα
\exists m,n \in [c,d]\wedge m<n:y_1=f(m)<f(n)=y_2
\Rightarrow [f(m),f(n)]\subseteq [f(c),f(d)]\wedge [f(m),f(n)]\cap f(T)=\varnothing
Έστω x\in T\wedge x\in [m,n]\Rightarrow f(x)\in f(T)\wedge f(x)\in [f(m),f(n)] ΑΤΟΠΟ
Άρα \Rightarrow [f(m),f(n)]\subseteq [f(c),f(d)]\wedge [f(m),f(n)]\cap f(T)=\varnothing\Rightarrow  [m,n]\cap T=\varnothing ΑΤΟΠΟ T πυκνό στο [c,d]
Άρα f(T) πυκνό στο [f(c),f(d)] \Rightarrow
\exists n_1,n_2\in (f(c),f(d))\cap f(T)\wedge n_1<n_2
(x_1\equiv \inf T_{n_1} \wedge x_2\equiv \sup T_{n_2})\Rightarrow c<x_1<x_2<d \wedge f(x_1)<f(x_2) \wedge [f(x_1),f(x_2)]\subseteq [f(c),f(d)]\subseteq f(E)

((f:1-1 στο [x_1,x_2]\cap T^C) \wedge f([x_1,x_2]\cap T^C)\subseteq f(E))\Rightarrow [x_1,x_2]\cap T^C\subseteq E\Rightarrow \forall x\in [x_1,x_2]\cap T^C \lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0

\forall x\in T-(\bigcup_{\forall n\in f(T)}\left \{ \sup T_n \right \})\lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0

\forall x\in \bigcup_{\forall n\in f(T)}\left \{ \sup T_n \right \}\lim_{h \to 0^- }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0

Άρα \forall x\in [x_1,x_2] \lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0 \vee \lim_{h \to 0^- }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0 (1)

A\equiv \left \{ x\in [x_1,x_2]|f(x)<y(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1) \right \} και
\exists \delta >0:\forall x\in (x_1,x_1+\delta )f(x)=f(x_1)<y(x) \wedge \forall x\in (x_2-\delta ,x_2) f(x)=n_2>y(x) και f συνεχής στο [x_1,x_2]
Άρα a=\sup A \Rightarrow x_1<a<x_2 \wedge f(a)=y(a)
\Rightarrow \exists (k_n) γνήσια αύξουσα ακολουθία με k_n\rightarrow a \wedge \forall n\in\mathbb{N}k_n\in A\Rightarrow \forall  n\in \mathbb{N} \frac{{f(a)}-f(k_n)}{a-k_n}\geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0
\Rightarrow (\lim_{h \to 0^- }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0) ψευδής

Άρα από (1) ισχύει ότι:
 \lim_{h \to 0^+ }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0\Rightarrow \exists d>0 \wedge \beta (d)\in (a,a+d):f(\beta (d))<y(\beta (d))\Rightarrow \beta (d)\in A \wedge \beta (d)> \sup A ΑΤΟΠΟ
Άρα (p) είναι ψευδής ,άρα f(E) δεν περιέχει διαστήματα.

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 12, 2018 7:14 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
mikemoke έγραψε:
Παρ Αύγ 10, 2018 2:15 pm
Μια ακόμη προσπάθεια.
(\Rightarrow )
f αύξουσα
\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0
 \Rightarrow \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq \inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0
\Rightarrow \forall x\in [a,b) D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}} \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}
\geq \lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq0

E\equiv \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \wedge D^{+}f(x)\geq 0  \right \}= 
\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \right \}=
 \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \wedge  0\geq \lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq0  \right \} =
\left \{ x\in [a,b):\lim_{h \rightarrow 0^{+}}  \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= 0 \right \}

T\equiv \left \{ x\in [a,b]|\exists y\in [a,b]-\left \{ x \right \} :f(x)=f(y) \right \}
\forall \eta\in f(T) T_\eta\equiv \left \{ x\in T |f(x)=\eta \right \}
Από τον ορισμό των T,T_\eta την συνέχεια της f και ότι είναι αύξουσα προκύπτει ότι :
\forall \eta\in f(T) (\inf T_ \eta< \sup T_ \eta\wedge T_\eta=[\inf T_\eta,\sup T_\eta]
Άρα T=\bigcup_{\eta \in f(T)}[\inf T_\eta,\sup T_\eta]

Έστω (c,d \in [a,b] \wedge  c<d \wedge f(c)<f(d)\wedge [f(c),f(d)]\subseteq f(E)) πρόταση (p)

Tότε T πυκνό στο [c,d] αφού \nexists ([p,q]\subseteq [c,d]\wedge [p,q]\cap T=\varnothing ) (*)
(*)Αν υπάρχει τότε f:1-1 στο [p,q]
f([p,q])\subseteq f([c,d])\subseteq f(E) \wedge f:1-1\Rightarrow [p,q]\subseteq E


\forall x\in [p,q ] h(x)\equiv \frac{f(q )-f(p)}{q-p}(x-p )+f(p)-f(x)
h(p )=0=h(q)
Από ΘΜΕΤ: \exists x_0\in[p ,q ]:\forall x\in [p,q] h(x)\leq h(x_0)
x=p \Rightarrow h(x_0)\geq h(p )=h(q)=0 \Rightarrow x_0\in [p,q)
Άρα \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x_0+h)-h(x_0)}{h}\leq 0
 \Rightarrow \frac{f(q )-f(p )}{q -p}-0\leq 0 \Rightarrow f(q)\leq f(p )
ΑΤΟΠΟ ( f(p)<f(q  ))

Θα αποδείξουμε ότι f(T) είναι πυκνό στο [c,d]
Έστω y_1,y_2\in [f(c),f(d)] \wedge y_1<y_2 \wedge [y_1,y_2]\cap f(T)=\varnothing
f συνεχής και αύξουσα στο [c,d] .Άρα
\exists m,n \in [c,d]\wedge m<n:y_1=f(m)<f(n)=y_2
\Rightarrow [f(m),f(n)]\subseteq [f(c),f(d)]\wedge [f(m),f(n)]\cap f(T)=\varnothing
Έστω x\in T\wedge x\in [m,n]\Rightarrow f(x)\in f(T)\wedge f(x)\in [f(m),f(n)] ΑΤΟΠΟ
Άρα \Rightarrow [f(m),f(n)]\subseteq [f(c),f(d)]\wedge [f(m),f(n)]\cap f(T)=\varnothing\Rightarrow  [m,n]\cap T=\varnothing ΑΤΟΠΟ T πυκνό στο [c,d]
Άρα f(T) πυκνό στο [f(c),f(d)] \Rightarrow
\exists n_1,n_2\in (f(c),f(d))\cap f(T)\wedge n_1<n_2
(x_1\equiv \inf T_{n_1} \wedge x_2\equiv \sup T_{n_2})\Rightarrow c<x_1<x_2<d \wedge f(x_1)<f(x_2) \wedge [f(x_1),f(x_2)]\subseteq [f(c),f(d)]\subseteq f(E)

((f:1-1 στο [x_1,x_2]\cap T^C) \wedge f([x_1,x_2]\cap T^C)\subseteq f(E))\Rightarrow [x_1,x_2]\cap T^C\subseteq E\Rightarrow \forall x\in [x_1,x_2]\cap T^C \lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0

\forall x\in T-(\bigcup_{\forall n\in f(T)}\left \{ \sup T_n \right \})\lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0

\forall x\in \bigcup_{\forall n\in f(T)}\left \{ \sup T_n \right \}\lim_{h \to 0^- }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0

Άρα \forall x\in [x_1,x_2] \lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0 \vee \lim_{h \to 0^- }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0 (1)

A\equiv \left \{ x\in [x_1,x_2]|f(x)<y(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1) \right \} και
\exists \delta >0:\forall x\in (x_1,x_1+\delta )f(x)=f(x_1)<y(x) \wedge \forall x\in (x_2-\delta ,x_2) f(x)=n_2>y(x) και f συνεχής στο [x_1,x_2]
Άρα a=\sup A \Rightarrow x_1<a<x_2 \wedge f(a)=y(a)
\Rightarrow \exists (k_n) γνήσια αύξουσα ακολουθία με k_n\rightarrow a \wedge \forall n\in\mathbb{N}k_n\in A\Rightarrow \forall  n\in \mathbb{N} \frac{{f(a)}-f(k_n)}{a-k_n}\geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0
\Rightarrow (\lim_{h \to 0^- }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0) ψευδής

Άρα από (1) ισχύει ότι:
 \lim_{h \to 0^+ }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0\Rightarrow \exists d>0 \wedge \beta (d)\in (a,a+d):f(\beta (d))<y(\beta (d))\Rightarrow \beta (d)\in A \wedge \beta (d)> \sup A ΑΤΟΠΟ
Άρα (p) είναι ψευδής ,άρα f(E) δεν περιέχει διαστήματα.
Η απόδειξη είναι ΣΩΣΤΗ.
Είναι όμως έτσι γραμμένη που χρειάστηκα ώρες για να καταλάβω.
Αργότερα θα την γράψω (την ίδια ) ώστε να είναι περισσότερο κατανοητή.