Σελίδα 1 από 1
Χαρακτηρισμός αύξουσας
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:18 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Εστω
συνεχής συνάρτηση.
Θέτουμε
Να δειχθεί ότι
η
είναι αύξουσα αν και μόνο αν το
δεν περιέχει διάστημα.
Σημείωση.Είναι
Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 31, 2018 1:27 pm
από mikemoke
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:18 pm
Εστω
συνεχής συνάρτηση.
Θέτουμε
Να δειχθεί ότι
η
είναι αύξουσα αν και μόνο αν το
δεν περιέχει διάστημα.
Σημείωση.Είναι
αύξουσα
Έστω
συνεχής
Από ΘΜΕΤ
ΑΤΟΠΟ (
)
Άρα
δεν περιέχει διαστήματα
δεν περιέχει διαστήματα
Έστω
Από ΘΕΤ έχουμε:
Αποδεικνύεται από την συνέχεια της
ότι :
Άρα
Άρα
ΑΤΟΠΟ
Άρα
Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 31, 2018 5:30 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
mikemoke έγραψε: ↑Τρί Ιούλ 31, 2018 1:27 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:18 pm
Εστω
συνεχής συνάρτηση.
Θέτουμε
Να δειχθεί ότι
η
είναι αύξουσα αν και μόνο αν το
δεν περιέχει διάστημα.
Σημείωση.Είναι
αύξουσα
Έστω
συνεχής
Από ΘΜΕΤ
ΑΤΟΠΟ (
)
Άρα
δεν περιέχει διαστήματα
δεν περιέχει διαστήματα
Έστω
Από ΘΕΤ έχουμε:
Αποδεικνύεται από την συνέχεια της
ότι :
Άρα
Άρα
ΑΤΟΠΟ
Άρα
Για το
υπάρχει πρόβλημα στο
και παρακάτω στο αν τύχει να είναι
Το
είναι εντάξει εκτός των τυπογραφικών :
στα
αντί για
πρέπει να βάλουμε
.
Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Δημοσιεύτηκε: Πέμ Αύγ 02, 2018 4:56 pm
από mikemoke
Από τον ορισμό των
την συνέχεια της
και ότι είναι αύξουσα προκύπτει ότι :
Άρα
Από Lindelof :
αριθμήσιμο
Άρα
1-1 και επί
Έστω
Tότε
πυκνό στο
αφού
(*)
όπου
ανοιχτό διάστημα
Ορίζουμε
την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των
στο σύνολο
Ισχύει ότι
στο
αριθμήσιμο και
αριθμήσιμο
Άρα
αριθμήσιμο ΑΤΟΠΟ
διάστημα .
(*) Tότε
στο
Από ΘΜΕΤ:
Άρα
ΑΤΟΠΟ (
)
Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 05, 2018 3:48 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Η κατεύθυνση
αποδίδεται στον A.Zygmund.
Την κατεύθυνση
από ένα πρόχειρο ψάξιμο σε ''παλιά'' βιβλία δεν την βρήκα.
Δεν μπορεί θα είναι γνωστή ίσως σε μια ισχυρότερη μορφή.
Αξίζουν συγχαρητήρια στον mikemoke μόνο και μόνο που ασχολείται με το θέμα.
Ηδη την μια κατεύθυνση την έχει αποδείξει.
mikemoke έγραψε: ↑Πέμ Αύγ 02, 2018 4:56 pm
Ορίζουμε
την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των
στο σύνολο
Ισχύει ότι
στο
αριθμήσιμο και
αριθμήσιμο
Άρα
αριθμήσιμο ΑΤΟΠΟ
διάστημα.
Δεν μπορώ να δω γιατί το σύνολο
είναι αριθμήσιμο.Για υπεραριθμήσιμο το βλέπω.
Ισως να είναι κάτι άλλο.
Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 05, 2018 5:12 pm
από mikemoke
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑Κυρ Αύγ 05, 2018 3:48 pm
Η κατεύθυνση
αποδίδεται στον A.Zygmund.
Την κατεύθυνση
από ένα πρόχειρο ψάξιμο σε ''παλιά'' βιβλία δεν την βρήκα.
Δεν μπορεί θα είναι γνωστή ίσως σε μια ισχυρότερη μορφή.
Αξίζουν συγχαρητήρια στον mikemoke μόνο και μόνο που ασχολείται με το θέμα.
Ηδη την μια κατεύθυνση την έχει αποδείξει.
mikemoke έγραψε: ↑Πέμ Αύγ 02, 2018 4:56 pm
Ορίζουμε
την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των
στο σύνολο
Ισχύει ότι
στο
αριθμήσιμο και
αριθμήσιμο
Άρα
αριθμήσιμο ΑΤΟΠΟ
διάστημα.
Δεν μπορώ να δω γιατί το σύνολο
είναι αριθμήσιμο.Για υπεραριθμήσιμο το βλέπω.
Ισως να είναι κάτι άλλο.
Ναι υπάρχει λάθος ,αφού
(
http://mathworld.wolfram.com/Aleph-0.html,
http://mathworld.wolfram.com/Continuum.html)Άρα το
μπορεί να είναι και υπεραριθμήσιμο.
Θα την ξαναπροσπαθήσω , έχει ενδιαφέρον .
Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Δημοσιεύτηκε: Παρ Αύγ 10, 2018 2:15 pm
από mikemoke
Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας
Δημοσιεύτηκε: Κυρ Αύγ 12, 2018 7:14 pm
από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
mikemoke έγραψε: ↑Παρ Αύγ 10, 2018 2:15 pm
Μια ακόμη προσπάθεια.
αύξουσα
Από τον ορισμό των
την συνέχεια της
και ότι είναι αύξουσα προκύπτει ότι :
Άρα
Έστω
πρόταση
Tότε
πυκνό στο
αφού
(*)
(*)Αν υπάρχει τότε
στο
Από ΘΜΕΤ:
Άρα
ΑΤΟΠΟ (
)
Θα αποδείξουμε ότι
είναι πυκνό στο
Έστω
f συνεχής και αύξουσα στο [c,d] .Άρα
Έστω
ΑΤΟΠΟ
Άρα
ΑΤΟΠΟ
πυκνό στο
Άρα
πυκνό στο
((
στο
)
)
Άρα
(1)
και
και
συνεχής στο
Άρα
γνήσια αύξουσα ακολουθία με
ψευδής
Άρα από (1) ισχύει ότι:
ΑΤΟΠΟ
Άρα
είναι ψευδής ,άρα
δεν περιέχει διαστήματα.
Η απόδειξη είναι ΣΩΣΤΗ.
Είναι όμως έτσι γραμμένη που χρειάστηκα ώρες για να καταλάβω.
Αργότερα θα την γράψω (την ίδια ) ώστε να είναι περισσότερο κατανοητή.