Χαρακτηρισμός αύξουσας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #1

Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

συνεχής συνάρτηση.

Θέτουμε $E=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}$

Να δειχθεί ότι

η

είναι αύξουσα αν και μόνο αν το f(E)

δεν περιέχει διάστημα.

Σημείωση.Είναι $D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}$

mikemoke · #2

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:18 pm
Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

συνεχής συνάρτηση.

Θέτουμε $E=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}$

Να δειχθεί ότι

η είναι αύξουσα αν και μόνο αν το δεν περιέχει διάστημα.

Σημείωση.Είναι $D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}$

$(\Rightarrow )$

αύξουσα
$\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$
$\Rightarrow sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0$
$\Rightarrow \forall x\in [a,b) D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0$

$E\equiv \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \wedge D^{+}f(x)\geq 0 \right \}= \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \right \}$

Έστω $\kappa ,\lambda \in [a,b] ,\kappa <\lambda : f(\kappa )<f(\lambda )\wedge [f(\kappa ),f(\lambda )]\subseteq f(E) \Rightarrow f([\kappa ,\lambda ]) \subseteq f(E)\Rightarrow [\kappa ,\lambda ]\subseteq E$

$\forall x\in [\kappa ,\lambda ] h(x)\equiv \frac{f(\lambda )-f(\kappa )}{\lambda -\kappa }(x-\kappa )+f(\kappa )$

συνεχής
Από ΘΜΕΤ $\exists x_0\in [\kappa ,\lambda ]: \forall x\in [\kappa ,\lambda ] h(x)\leq h(x_0)\Rightarrow \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x_0+h)-h(x_0)}{h}\leq 0$
$\Rightarrow \frac{f(\lambda )-f(\kappa )}{\lambda -\kappa }-0\leq 0 \Rightarrow f(\lambda )\leq f(\kappa )$
ΑΤΟΠΟ ( $f(\kappa )<f(\lambda )$ )

Άρα f(E)

δεν περιέχει διαστήματα

$(\Leftarrow )$
f(E)

δεν περιέχει διαστήματα

Έστω $x_1,x_2\in [a,b] : x_1<x_2 \wedge f(x_1)>f(x_2)$
Από ΘΕΤ έχουμε:
$\forall \eta \in [f(x_2),f(x_1))\exists \xi \in [x_1,x_2):f(\xi )=\eta$
$H\equiv \left \{ x\in[x_1,x_2)|f(x)=\eta \right \}\neq \varnothing$
Αποδεικνύεται από την συνέχεια της

ότι :
$\forall \eta \in [f(x_2),f(x_1)) ( x_1\leq supH<x_2 \wedge (\exists x(\eta )\in H : x(\eta )=supH))$

Άρα $\forall x\in [ x(\eta ),x_2] f(x)\leq f(x(\eta )) \Rightarrow \frac{f(x)-f(x(\eta ))}{x-x(\eta )}\leq 0 \Rightarrow$
$\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\leq 0$
Άρα $\forall \eta \in[f(x_2),f(x_1)) \exists x(\eta )\in [x_1,x_2): lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x(\eta)+h)-f(x(\eta))}{h}:0< h< \delta \right \}\leq 0$
$[f(x_2),f(x_1))\subseteq E$
ΑΤΟΠΟ
Άρα $\forall x_1,x_2\in [a,b](x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2))$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

mikemoke έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 31, 2018 1:27 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Ιούλ 29, 2018 6:18 pm
Εστω $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$

συνεχής συνάρτηση.

Θέτουμε $E=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}$

Να δειχθεί ότι

η είναι αύξουσα αν και μόνο αν το δεν περιέχει διάστημα.

Σημείωση.Είναι $D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}$

$(\Rightarrow )$
αύξουσα
$\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$
$\Rightarrow sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0$
$\Rightarrow \forall x\in [a,b) D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0$

$E\equiv \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \wedge D^{+}f(x)\geq 0 \right \}= \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \right \}$

Έστω $\kappa ,\lambda \in [a,b] ,\kappa <\lambda : f(\kappa )<f(\lambda )\wedge [f(\kappa ),f(\lambda )]\subseteq f(E) \Rightarrow f([\kappa ,\lambda ]) \subseteq f(E)\Rightarrow [\kappa ,\lambda ]\subseteq E$

$\forall x\in [\kappa ,\lambda ] h(x)\equiv \frac{f(\lambda )-f(\kappa )}{\lambda -\kappa }(x-\kappa )+f(\kappa )$
συνεχής
Από ΘΜΕΤ $\exists x_0\in [\kappa ,\lambda ]: \forall x\in [\kappa ,\lambda ] h(x)\leq h(x_0)\Rightarrow \lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x_0+h)-h(x_0)}{h}\leq 0$
$\Rightarrow \frac{f(\lambda )-f(\kappa )}{\lambda -\kappa }-0\leq 0 \Rightarrow f(\lambda )\leq f(\kappa )$
ΑΤΟΠΟ ( $f(\kappa )<f(\lambda )$ )

Άρα δεν περιέχει διαστήματα

$(\Leftarrow )$
δεν περιέχει διαστήματα

Έστω $x_1,x_2\in [a,b] : x_1<x_2 \wedge f(x_1)>f(x_2)$
Από ΘΕΤ έχουμε:
$\forall \eta \in [f(x_2),f(x_1))\exists \xi \in [x_1,x_2):f(\xi )=\eta$
$H\equiv \left \{ x\in[x_1,x_2)|f(x)=\eta \right \}\neq \varnothing$
Αποδεικνύεται από την συνέχεια της ότι :
$\forall \eta \in [f(x_2),f(x_1)) ( x_1\leq supH<x_2 \wedge (\exists x(\eta )\in H : x(\eta )=supH))$

Άρα $\forall x\in [ x(\eta ),x_2] f(x)\leq f(x(\eta )) \Rightarrow \frac{f(x)-f(x(\eta ))}{x-x(\eta )}\leq 0 \Rightarrow$
$\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\leq 0$
Άρα $\forall \eta \in[f(x_2),f(x_1)) \exists x(\eta )\in [x_1,x_2): lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\leq 0$
$[f(x_2),f(x_1))\subseteq E$
ΑΤΟΠΟ
Άρα $\forall x_1,x_2\in [a,b](x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2))$

Για το $(\Rightarrow )$ υπάρχει πρόβλημα στο

$f([\kappa ,\lambda ]) \subseteq f(E)\Rightarrow [\kappa ,\lambda ]\subseteq E$

και παρακάτω στο αν τύχει να είναι $x_{0}=\lambda$

Το $(\Leftarrow )$ είναι εντάξει εκτός των τυπογραφικών :

στα $lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\leq 0$

αντί για

πρέπει να βάλουμε $x(\eta )$ .

mikemoke · #4

$(\Rightarrow )$

$T\equiv \left \{ x\in [a,b]|\exists y\in [a,b]-\left \{ x \right \} :f(x)=f(y) \right \}$
$\forall \eta\in f(T) T_\eta\equiv \left \{ x\in T |f(x)=\eta \right \}$
Από τον ορισμό των $T,T_\eta$ την συνέχεια της

και ότι είναι αύξουσα προκύπτει ότι :
$\forall \eta\in f(T) (\inf T_ \eta< \sup T_ \eta\wedge T_\eta=[\inf T_\eta,\sup T_\eta]$
Άρα $T=\bigcup_{\eta \in f(T)}[\inf T_\eta,\sup T_\eta]$
Από Lindelof : f(T)

αριθμήσιμο
Άρα $\exists (\eta _n)|\mathbb{N} \mapsto f(T)$ 1-1 και επί
$\Rightarrow T=\bigcup_{i=1}^{\infty} T_{n_i}$

Έστω $c,d \in [a,b] , c<d: f(c)<f(d)\wedge [f(c),f(d)]\subseteq f(E)$

Tότε

πυκνό στο

αφού $\nexists ([p,q]\subseteq [c,d]\wedge [p,q]\cap T=\varnothing )$ (*)

$\forall n\in\mathbb{N}S_n\equiv (\bigcup_{i=1}^{n}T_{\eta _i})\cap [c,d]\wedge J_n\equiv S_n^{C}\cap [c,d]=\bigcup_{i=1}^{k(n)}W_i$
όπου W_i

ανοιχτό διάστημα $\forall i\in \mathbb{N}\wedge \forall i\neq j \in\mathbb{N}W_i\cap W_j=\varnothing$
$x\in T^{C}\cap [c,d]\Leftrightarrow \exists (k_n)|\mathbb{N} \mapsto \mathbb{N} , k_n\rightarrow \infty:\bigcap_{\infty}^{i=1}W_{k_i}=x$
Ορίζουμε

την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των $x\in T^{C}\cap [c,d]$ στο σύνολο $K\equiv \left \{ (k_n)|\mathbb{N} \mapsto \mathbb{N} :k_n\rightarrow \infty \right \}$
Ισχύει ότι $(\forall x\neq y\in T^{C}\cap [c,d] F(x)\neq F(y))$ $\Leftrightarrow F:1-1$
$|T^{C}\cap [c,d]|=|F(T^{C}\cap [c,d])|\leq |K|\leq |\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=\aleph_0$
f:1-1

στο $T^{C}\cap [c,d]$ $\Rightarrow |T^{C}\cap [c,d]|=f(|T^{C}\cap [c,d]|)$
$f(T^{C}\cap [c,d])$ αριθμήσιμο και $f(T \cap [c,d])$ αριθμήσιμο
Άρα f([c,d])

αριθμήσιμο ΑΤΟΠΟ f([c,d])

διάστημα .

(*) Tότε f:1-1

στο

$f([p,q])\subseteq f([c,d])\subseteq f(E) \wedge f:1-1\Rightarrow [p,q]\subseteq E$

$\forall x\in [p,q ] h(x)\equiv \frac{f(q )-f(p)}{q-p}(x-p )+f(p)-f(x)$
h(p )=0=h(q)

Από ΘΜΕΤ: $\exists x_0\in[p ,q ]:\forall x\in [p,q] h(x)\leq h(x_0)$
$x=p \Rightarrow h(x_0)\geq h(p )=h(q)=0 \Rightarrow x_0\in [p,q)$
Άρα $\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x_0+h)-h(x_0)}{h}\leq 0$
$\Rightarrow \frac{f(q )-f(p )}{q -p}-0\leq 0 \Rightarrow f(q)\leq f(p )$
ΑΤΟΠΟ ( f(p)<f(q )

)

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Η κατεύθυνση $\Leftarrow$ αποδίδεται στον A.Zygmund.
Την κατεύθυνση $\Rightarrow$
από ένα πρόχειρο ψάξιμο σε ''παλιά'' βιβλία δεν την βρήκα.
Δεν μπορεί θα είναι γνωστή ίσως σε μια ισχυρότερη μορφή.
Αξίζουν συγχαρητήρια στον mikemoke μόνο και μόνο που ασχολείται με το θέμα.
Ηδη την μια κατεύθυνση την έχει αποδείξει.

mikemoke έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 02, 2018 4:56 pm

Ορίζουμε την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των $x\in T^{C}\cap [c,d]$ στο σύνολο $K\equiv \left \{ (k_n)|\mathbb{N} \mapsto \mathbb{N} :k_n\rightarrow \infty \right \}$
Ισχύει ότι $(\forall x\neq y\in T^{C}\cap [c,d] F(x)\neq F(y))$ $\Leftrightarrow F:1-1$
$|T^{C}\cap [c,d]|=|F(T^{C}\cap [c,d])|\leq |K|\leq |\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=\aleph_0$
στο $T^{C}\cap [c,d]$ $\Rightarrow |T^{C}\cap [c,d]|=f(|T^{C}\cap [c,d]|)$
$f(T^{C}\cap [c,d])$ αριθμήσιμο και $f(T \cap [c,d])$ αριθμήσιμο
Άρα αριθμήσιμο ΑΤΟΠΟ διάστημα.

Δεν μπορώ να δω γιατί το σύνολο

είναι αριθμήσιμο.Για υπεραριθμήσιμο το βλέπω.
Ισως να είναι κάτι άλλο.

mikemoke · #6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Κυρ Αύγ 05, 2018 3:48 pm
Η κατεύθυνση $\Leftarrow$ αποδίδεται στον A.Zygmund.
Την κατεύθυνση $\Rightarrow$
από ένα πρόχειρο ψάξιμο σε ''παλιά'' βιβλία δεν την βρήκα.
Δεν μπορεί θα είναι γνωστή ίσως σε μια ισχυρότερη μορφή.
Αξίζουν συγχαρητήρια στον mikemoke μόνο και μόνο που ασχολείται με το θέμα.
Ηδη την μια κατεύθυνση την έχει αποδείξει.

mikemoke έγραψε: ↑
Πέμ Αύγ 02, 2018 4:56 pm

Ορίζουμε την αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των $x\in T^{C}\cap [c,d]$ στο σύνολο $K\equiv \left \{ (k_n)|\mathbb{N} \mapsto \mathbb{N} :k_n\rightarrow \infty \right \}$
Ισχύει ότι $(\forall x\neq y\in T^{C}\cap [c,d] F(x)\neq F(y))$ $\Leftrightarrow F:1-1$
$|T^{C}\cap [c,d]|=|F(T^{C}\cap [c,d])|\leq |K|\leq |\mathbb{N}\times \mathbb{N}|=\aleph_0$
στο $T^{C}\cap [c,d]$ $\Rightarrow |T^{C}\cap [c,d]|=f(|T^{C}\cap [c,d]|)$
$f(T^{C}\cap [c,d])$ αριθμήσιμο και $f(T \cap [c,d])$ αριθμήσιμο
Άρα αριθμήσιμο ΑΤΟΠΟ διάστημα.
Δεν μπορώ να δω γιατί το σύνολο είναι αριθμήσιμο.Για υπεραριθμήσιμο το βλέπω.
Ισως να είναι κάτι άλλο.

Ναι υπάρχει λάθος ,αφού $|K|\leq \aleph_0^{\aleph_0}=c$ (http://mathworld.wolfram.com/Aleph-0.html, http://mathworld.wolfram.com/Continuum.html)Άρα το

μπορεί να είναι και υπεραριθμήσιμο.
Θα την ξαναπροσπαθήσω , έχει ενδιαφέρον .

mikemoke · #7

Μια ακόμη προσπάθεια.
$(\Rightarrow )$

αύξουσα
$\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$
$\Rightarrow \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq \inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0$
$\Rightarrow \forall x\in [a,b) D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}} \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}$
$\geq \lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq0$

$E\equiv \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \wedge D^{+}f(x)\geq 0 \right \}= \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \right \}=$
$\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \wedge 0\geq \lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq0 \right \} =$
$\left \{ x\in [a,b):\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= 0 \right \}$

$T\equiv \left \{ x\in [a,b]|\exists y\in [a,b]-\left \{ x \right \} :f(x)=f(y) \right \}$
$\forall \eta\in f(T) T_\eta\equiv \left \{ x\in T |f(x)=\eta \right \}$
Από τον ορισμό των $T,T_\eta$ την συνέχεια της

και ότι είναι αύξουσα προκύπτει ότι :
$\forall \eta\in f(T) (\inf T_ \eta< \sup T_ \eta\wedge T_\eta=[\inf T_\eta,\sup T_\eta]$
Άρα $T=\bigcup_{\eta \in f(T)}[\inf T_\eta,\sup T_\eta]$

Έστω $(c,d \in [a,b] \wedge c<d \wedge f(c)<f(d)\wedge [f(c),f(d)]\subseteq f(E))$ πρόταση (p)

Tότε

πυκνό στο

αφού $\nexists ([p,q]\subseteq [c,d]\wedge [p,q]\cap T=\varnothing )$ (*)
(*)Αν υπάρχει τότε f:1-1

στο

$f([p,q])\subseteq f([c,d])\subseteq f(E) \wedge f:1-1\Rightarrow [p,q]\subseteq E$

$\forall x\in [p,q ] h(x)\equiv \frac{f(q )-f(p)}{q-p}(x-p )+f(p)-f(x)$
h(p )=0=h(q)

Από ΘΜΕΤ: $\exists x_0\in[p ,q ]:\forall x\in [p,q] h(x)\leq h(x_0)$
$x=p \Rightarrow h(x_0)\geq h(p )=h(q)=0 \Rightarrow x_0\in [p,q)$
Άρα $\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x_0+h)-h(x_0)}{h}\leq 0$
$\Rightarrow \frac{f(q )-f(p )}{q -p}-0\leq 0 \Rightarrow f(q)\leq f(p )$
ΑΤΟΠΟ ( f(p)<f(q )

)

Θα αποδείξουμε ότι f(T)

είναι πυκνό στο [c,d]

Έστω $y_1,y_2\in [f(c),f(d)] \wedge y_1<y_2 \wedge [y_1,y_2]\cap f(T)=\varnothing$
f συνεχής και αύξουσα στο [c,d] .Άρα
$\exists m,n \in [c,d]\wedge m<n:y_1=f(m)<f(n)=y_2$
$\Rightarrow [f(m),f(n)]\subseteq [f(c),f(d)]\wedge [f(m),f(n)]\cap f(T)=\varnothing$
Έστω $x\in T\wedge x\in [m,n]\Rightarrow f(x)\in f(T)\wedge f(x)\in [f(m),f(n)]$ ΑΤΟΠΟ
Άρα $\Rightarrow [f(m),f(n)]\subseteq [f(c),f(d)]\wedge [f(m),f(n)]\cap f(T)=\varnothing\Rightarrow [m,n]\cap T=\varnothing$ ΑΤΟΠΟ

πυκνό στο

Άρα

πυκνό στο $[f(c),f(d)] \Rightarrow$
$\exists n_1,n_2\in (f(c),f(d))\cap f(T)\wedge n_1<n_2$
$(x_1\equiv \inf T_{n_1} \wedge x_2\equiv \sup T_{n_2})\Rightarrow c<x_1<x_2<d \wedge f(x_1)<f(x_2) \wedge [f(x_1),f(x_2)]\subseteq [f(c),f(d)]\subseteq f(E)$

(( f:1-1

στο $[x_1,x_2]\cap T^C$ ) $\wedge f([x_1,x_2]\cap T^C)\subseteq f(E)$ ) $\Rightarrow [x_1,x_2]\cap T^C\subseteq E\Rightarrow \forall x\in [x_1,x_2]\cap T^C \lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$

$\forall x\in T-(\bigcup_{\forall n\in f(T)}\left \{ \sup T_n \right \})\lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$

$\forall x\in \bigcup_{\forall n\in f(T)}\left \{ \sup T_n \right \}\lim_{h \to 0^- }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$

Άρα $\forall x\in [x_1,x_2] \lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0 \vee \lim_{h \to 0^- }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$ (1)

$A\equiv \left \{ x\in [x_1,x_2]|f(x)<y(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1) \right \}$ και
$\exists \delta >0:\forall x\in (x_1,x_1+\delta )f(x)=f(x_1)<y(x) \wedge \forall x\in (x_2-\delta ,x_2) f(x)=n_2>y(x)$ και

συνεχής στο [x_1,x_2]

Άρα $a=\sup A \Rightarrow x_1<a<x_2 \wedge f(a)=y(a)$
$\Rightarrow \exists (k_n)$ γνήσια αύξουσα ακολουθία με $k_n\rightarrow a \wedge \forall n\in\mathbb{N}k_n\in A\Rightarrow \forall n\in \mathbb{N} \frac{{f(a)}-f(k_n)}{a-k_n}\geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0$
$\Rightarrow (\lim_{h \to 0^- }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0)$ ψευδής

Άρα από (1) ισχύει ότι:
$\lim_{h \to 0^+ }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0$ $\Rightarrow \exists d>0 \wedge \beta (d)\in (a,a+d):f(\beta (d))<y(\beta (d))\Rightarrow \beta (d)\in A \wedge \beta (d)> \sup A$ ΑΤΟΠΟ
Άρα (p)

είναι ψευδής ,άρα f(E)

δεν περιέχει διαστήματα.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

mikemoke έγραψε: ↑
Παρ Αύγ 10, 2018 2:15 pm
Μια ακόμη προσπάθεια.
$(\Rightarrow )$
αύξουσα
$\Leftrightarrow \forall x_1,x_2 \in [a,b](x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)\leq f(x_2)) \Rightarrow \forall x\in [a,b) \forall h\in(0,b-x) \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \geq 0$
$\Rightarrow \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq \inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq 0$
$\Rightarrow \forall x\in [a,b) D^{+}f(x)=\lim_{\delta \rightarrow 0^{+}} \sup\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}$
$\geq \lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq0$

$E\equiv \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \right \}=\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)\leq 0 \wedge D^{+}f(x)\geq 0 \right \}= \left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \right \}=$
$\left \{ x\in [a,b):D^{+}f(x)= 0 \wedge 0\geq \lim_{\delta \rightarrow 0^{+}}\inf\left \{ \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}:0< h< \delta \right \}\geq0 \right \} =$
$\left \{ x\in [a,b):\lim_{h \rightarrow 0^{+}} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= 0 \right \}$

$T\equiv \left \{ x\in [a,b]|\exists y\in [a,b]-\left \{ x \right \} :f(x)=f(y) \right \}$
$\forall \eta\in f(T) T_\eta\equiv \left \{ x\in T |f(x)=\eta \right \}$
Από τον ορισμό των $T,T_\eta$ την συνέχεια της και ότι είναι αύξουσα προκύπτει ότι :
$\forall \eta\in f(T) (\inf T_ \eta< \sup T_ \eta\wedge T_\eta=[\inf T_\eta,\sup T_\eta]$
Άρα $T=\bigcup_{\eta \in f(T)}[\inf T_\eta,\sup T_\eta]$

Έστω $(c,d \in [a,b] \wedge c<d \wedge f(c)<f(d)\wedge [f(c),f(d)]\subseteq f(E))$ πρόταση

Tότε πυκνό στο αφού $\nexists ([p,q]\subseteq [c,d]\wedge [p,q]\cap T=\varnothing )$ (*)
(*)Αν υπάρχει τότε στο
$f([p,q])\subseteq f([c,d])\subseteq f(E) \wedge f:1-1\Rightarrow [p,q]\subseteq E$

$\forall x\in [p,q ] h(x)\equiv \frac{f(q )-f(p)}{q-p}(x-p )+f(p)-f(x)$

Από ΘΜΕΤ: $\exists x_0\in[p ,q ]:\forall x\in [p,q] h(x)\leq h(x_0)$
$x=p \Rightarrow h(x_0)\geq h(p )=h(q)=0 \Rightarrow x_0\in [p,q)$
Άρα $\lim_{h\rightarrow 0^{+}}\frac{h(x_0+h)-h(x_0)}{h}\leq 0$
$\Rightarrow \frac{f(q )-f(p )}{q -p}-0\leq 0 \Rightarrow f(q)\leq f(p )$
ΑΤΟΠΟ ( )

Θα αποδείξουμε ότι είναι πυκνό στο
Έστω $y_1,y_2\in [f(c),f(d)] \wedge y_1<y_2 \wedge [y_1,y_2]\cap f(T)=\varnothing$
f συνεχής και αύξουσα στο [c,d] .Άρα
$\exists m,n \in [c,d]\wedge m<n:y_1=f(m)<f(n)=y_2$
$\Rightarrow [f(m),f(n)]\subseteq [f(c),f(d)]\wedge [f(m),f(n)]\cap f(T)=\varnothing$
Έστω $x\in T\wedge x\in [m,n]\Rightarrow f(x)\in f(T)\wedge f(x)\in [f(m),f(n)]$ ΑΤΟΠΟ
Άρα $\Rightarrow [f(m),f(n)]\subseteq [f(c),f(d)]\wedge [f(m),f(n)]\cap f(T)=\varnothing\Rightarrow [m,n]\cap T=\varnothing$ ΑΤΟΠΟ πυκνό στο
Άρα πυκνό στο $[f(c),f(d)] \Rightarrow$
$\exists n_1,n_2\in (f(c),f(d))\cap f(T)\wedge n_1<n_2$
$(x_1\equiv \inf T_{n_1} \wedge x_2\equiv \sup T_{n_2})\Rightarrow c<x_1<x_2<d \wedge f(x_1)<f(x_2) \wedge [f(x_1),f(x_2)]\subseteq [f(c),f(d)]\subseteq f(E)$

(( στο $[x_1,x_2]\cap T^C$ ) $\wedge f([x_1,x_2]\cap T^C)\subseteq f(E)$ ) $\Rightarrow [x_1,x_2]\cap T^C\subseteq E\Rightarrow \forall x\in [x_1,x_2]\cap T^C \lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$

$\forall x\in T-(\bigcup_{\forall n\in f(T)}\left \{ \sup T_n \right \})\lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$

$\forall x\in \bigcup_{\forall n\in f(T)}\left \{ \sup T_n \right \}\lim_{h \to 0^- }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$

Άρα $\forall x\in [x_1,x_2] \lim_{h \to 0^+ }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0 \vee \lim_{h \to 0^- }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=0$ (1)

$A\equiv \left \{ x\in [x_1,x_2]|f(x)<y(x)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}(x-x_1)+f(x_1) \right \}$ και
$\exists \delta >0:\forall x\in (x_1,x_1+\delta )f(x)=f(x_1)<y(x) \wedge \forall x\in (x_2-\delta ,x_2) f(x)=n_2>y(x)$ και συνεχής στο
Άρα $a=\sup A \Rightarrow x_1<a<x_2 \wedge f(a)=y(a)$
$\Rightarrow \exists (k_n)$ γνήσια αύξουσα ακολουθία με $k_n\rightarrow a \wedge \forall n\in\mathbb{N}k_n\in A\Rightarrow \forall n\in \mathbb{N} \frac{{f(a)}-f(k_n)}{a-k_n}\geq \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}>0$
$\Rightarrow (\lim_{h \to 0^- }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0)$ ψευδής

Άρα από (1) ισχύει ότι:
$\lim_{h \to 0^+ }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=0$ $\Rightarrow \exists d>0 \wedge \beta (d)\in (a,a+d):f(\beta (d))<y(\beta (d))\Rightarrow \beta (d)\in A \wedge \beta (d)> \sup A$ ΑΤΟΠΟ
Άρα είναι ψευδής ,άρα δεν περιέχει διαστήματα.

Η απόδειξη είναι ΣΩΣΤΗ.
Είναι όμως έτσι γραμμένη που χρειάστηκα ώρες για να καταλάβω.
Αργότερα θα την γράψω (την ίδια ) ώστε να είναι περισσότερο κατανοητή.

Χαρακτηρισμός αύξουσας

Χαρακτηρισμός αύξουσας

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Re: Χαρακτηρισμός αύξουσας

Μέλη σε σύνδεση