Όριο με ζήτα και Γάμμα

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\zeta$ η συνάρτηση ζήτα του Riemann και $\Gamma$ η συνάρτηση Γάμμα του Euler. Δείξατε ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{2} \lim_{n \rightarrow +\infty} \left [ \zeta\left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) - \Gamma \left ( \frac{1}{n} \right ) \right ] = \gamma}$
όπου $\gamma$ η σταθερά Euler - Mascheroni.

Tolaso J Kos · #2

Επαναφορά... !!

Tolaso J Kos · #3

Έμεινε καιρό αναπάντητο ....

Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Laurent της συνάντησης $\zeta$ έχουμε :

$\displaystyle{\begin{aligned} \zeta(s) \sim \frac{1}{s-1} + \gamma + \mathcal{O} \left ( s-1 \right ) &\Rightarrow \zeta\left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) \sim \frac{1}{1+\frac{1}{n} - 1} + \gamma + \\ & \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad +\mathcal{O} \left ( 1 + \frac{1}{n} - 1 \right )\\ &\Rightarrow \zeta \left ( 1 + \frac{1}{n} \right ) \sim n + \gamma + \mathcal{O} \left ( \frac{1}{n} \right) \end{aligned}}$
Χρησιμοποιώντας το ανάπτυγμα Laurent της $\Gamma$ έχουμε :

$\displaystyle{\begin{aligned} \Gamma(s) \sim \frac{1}{s} - \gamma + \mathcal{O}(s) &\Rightarrow \Gamma \left ( \frac{1}{n} \right ) \sim n - \gamma + \mathcal{O} \left ( \frac{1}{n} \right ) \end{aligned}}$

Το αποτέλεσμα έπεται.

Όριο με ζήτα και Γάμμα

Όριο με ζήτα και Γάμμα

Re: Όριο με ζήτα και Γάμμα

Re: Όριο με ζήτα και Γάμμα

Μέλη σε σύνδεση