Σειρά με συνημίτονο
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Σειρά με συνημίτονο
Να υπολογιστεί η σειρά:
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15740
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Σειρά με συνημίτονο
Επειδή , αρκεί να βρούμε το τελευταίο άθροισμα. Θα δείξουμε ότι, γενικότερα,
, όπου και (*)
Μόνο τα κύρια βήματα γιατί οι πληκτρολόγιση είναι επίπονη.
Θέτουμε , οπότε
Λύνουμε την διαφορική εξίσωση. Η μεν ομογενής έχει γενική λύση η δε ειδική λύση εξισώσεων της μορφής είναι . Την βρήκα με μέθοδο απροσδιόριστων συντελεστών, αλλά μπορούμε να ελέγξουμε με το χέρι.
Άρα
(**)
Τα τα βρίσκουμε θέτοντας στις παραστάσεις των και . Συγκεκριμένα θα βρούμε
και
οπότε λύνοντας θα βρούμε τα (είναι τα μερικά αθροίσματα των που έγραψα παραπάνω.
Παίρνοντας όριο τώρα της (**) και με χρήση το Λήμματος Riemann-Lebesque για να διαπιστώσουμε ότι τα ολοκληρώματα που εξαρτώνται από το στην (**) τείνουν στο , έπεται η (*).
Edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό, για κάποιο που έλλειπε.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Αύγ 17, 2018 9:30 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σειρά με συνημίτονο
Βγάζοντας λαγό από το καπέλο μπορούμε και πιο απλά και με πλήρη υπολογισμό.
Ο λαγός είναι
Αρα για παίρνουμε
οπότε το ζητούμενο άθροισμα είναι
Ο λαγός είναι
Αρα για παίρνουμε
οπότε το ζητούμενο άθροισμα είναι
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Σειρά με συνημίτονο
Ωραία προσπαθήστε να δώσετε μια απάντηση με μιγαδική ! ( έχω λόγο που το θέτω )
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
-
- Δημοσιεύσεις: 3600
- Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
- Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ
Re: Σειρά με συνημίτονο
Δεν καταλαβαίνω τον λόγο Τόλη.Tolaso J Kos έγραψε: ↑Παρ Αύγ 17, 2018 12:37 amΩραία προσπαθήστε να δώσετε μια απάντηση με μιγαδική ! ( έχω λόγο που το θέτω )
Υπάρχει ΛΑΓΟΣ από την Μιγαδική που δίνει το άθροισμα που έχει αφήσει
ο Μιχάλης (αν εννοείς αυτό)
Αν διαβαστεί προσεκτικά το
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~tkc/comple ... apter4.pdf
προκύπτει ο τύπος
για τα που έχει νόημα .
Θέτοντας υπολογίζουμε το
Αυτό κατά την γνώμη μου δεν είναι Μαθηματικά.Είναι κυνήγι λαγών.
Μαθηματικά είναι η λύση που έδωσε ο Μιχάλης.
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Σειρά με συνημίτονο
Όχι Σταύρο ,
εννοώ να υπολογιστεί το αρχικό άθροισμα χρησιμοποιώντας μεθόδους μιγαδικής ανάλυσης. Χωρίς καν να περάσουμε στo άθροισμα .
εννοώ να υπολογιστεί το αρχικό άθροισμα χρησιμοποιώντας μεθόδους μιγαδικής ανάλυσης. Χωρίς καν να περάσουμε στo άθροισμα .
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5222
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Re: Σειρά με συνημίτονο
Αυτό που ήθελα να πω είναι πως ο συνηθισμένος πυρήνας , δηλ. η συνάρτηση δε δουλεύει. Θα ήταν μια πολύ φυσική επιλογή μιγαδικής συνάρτησης για την ανάκτηση της σειράς αλλά το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα
όπου ας πούμε ένα τετράγωνο δε τείνει στο . Πρέπει λοιπόν να βρεθεί μία άλλη μιγαδική συνάρτηση και άλλο contour ώστε να εφαρμοστεί το residue theorem.
Σημείωση: Τόσο το Wolfram όσο και το Mathematica δεν υπολογίζουν τη σειρά αυτή. Συγκεκριμένα βγάζουν ένα αποτέλεσμα με υπεργεωμετρική συνάρτηση και μιγαδικά ορίσματα.
όπου ας πούμε ένα τετράγωνο δε τείνει στο . Πρέπει λοιπόν να βρεθεί μία άλλη μιγαδική συνάρτηση και άλλο contour ώστε να εφαρμοστεί το residue theorem.
Σημείωση: Τόσο το Wolfram όσο και το Mathematica δεν υπολογίζουν τη σειρά αυτή. Συγκεκριμένα βγάζουν ένα αποτέλεσμα με υπεργεωμετρική συνάρτηση και μιγαδικά ορίσματα.
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 9 επισκέπτες