Σειρά με συνημίτονο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Σειρά με συνημίτονο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Αύγ 14, 2018 8:51 pm

Να υπολογιστεί η σειρά:

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2+1}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10315
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Σειρά με συνημίτονο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Πέμ Αύγ 16, 2018 9:48 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Τρί Αύγ 14, 2018 8:51 pm
Να υπολογιστεί η σειρά:

\displaystyle{\mathcal{S} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2+1}}
Επειδή \displaystyle{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2+1}= 1+2\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n}{n^2+1}}, αρκεί να βρούμε το τελευταίο άθροισμα. Θα δείξουμε ότι, γενικότερα,

\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\cos nx}{n^2+1}= A e^x -Be^{-x} -{\color {red} \frac {1}{2}}}, όπου \displaystyle{A = \frac {1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1} + \frac {1-\pi}{4} } και \displaystyle{B = \frac {1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1} + \frac {1+\pi}{4} } (*)

Μόνο τα κύρια βήματα γιατί οι πληκτρολόγιση είναι επίπονη.

Θέτουμε \displaystyle{S_N=\sum_{n=1}^{N} \frac{\cos nx}{n^2+1} , οπότε

\displaystyle{ S_N''-S_N = -\sum_{n=1}^{N} \cos nx = - \frac {\sin \frac {N+1}{2}x- \sin \frac {x}{2}}{2\sin \frac {x}{2}}

Λύνουμε την διαφορική εξίσωση. Η μεν ομογενής έχει γενική λύση A_Ne^x-B_Ne^{-x} η δε ειδική λύση εξισώσεων της μορφής y''-y=f(x) είναι \displaystyle \frac {1}{2} e^x\int _0^xe^{-t}f(t)dt - \frac {1}{2} e^{-x}\int _0^xe^{t}f(t)dt . Την βρήκα με μέθοδο απροσδιόριστων συντελεστών, αλλά μπορούμε να ελέγξουμε με το χέρι.

Άρα

\displaystyle{ S_N = A_Ne^x-B_Ne^{-x}   -\frac {1}{2} e^x\int _0^x e^{-t}  \frac {\sin \frac {N+1}{2}t- \sin \frac {t}{2}}{2\sin \frac {t}{2} }dt + \frac {1}{2} e^{-x}\int _0^x e^{t}  \frac {\sin \frac {N+1}{2}t- \sin \frac {t}{2}}{2\sin \frac {t}{2} }dt (**)

Τα A_N, B_N τα βρίσκουμε θέτοντας x=0 στις παραστάσεις των S_N και \displaystyle {S_N'}. Συγκεκριμένα θα βρούμε

\displaystyle {  \sum_{n=0}^{N} \frac{1}{n^2+1}= A_N-B_N-\frac {1}{2} και \displaystyle{\displaystyle \, -\frac {\pi}{2}= A_N+B_N}

οπότε λύνοντας θα βρούμε τα A_N, B,N (είναι τα μερικά αθροίσματα των A,B που έγραψα παραπάνω.

Παίρνοντας όριο τώρα της (**) και με χρήση το Λήμματος Riemann-Lebesque για να διαπιστώσουμε ότι τα ολοκληρώματα που εξαρτώνται από το N στην (**) τείνουν στο 0, έπεται η (*).

Edit: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό, για κάποιο \frac {1}{2} που έλλειπε.
τελευταία επεξεργασία από Mihalis_Lambrou σε Παρ Αύγ 17, 2018 9:30 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1905
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σειρά με συνημίτονο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Πέμ Αύγ 16, 2018 11:47 pm

Βγάζοντας λαγό από το καπέλο μπορούμε και πιο απλά και με πλήρη υπολογισμό.

Ο λαγός είναι

\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{\cos nx}{n^{2}+1}=\dfrac{\pi \cosh (\pi -x)}{2\sinh \pi },0\leq x  \leq  2\pi

Αρα για x=1 παίρνουμε

\sum_{n=1}^{\infty }\dfrac{\cos n}{n^{2}+1}=\dfrac{\pi \cosh (\pi -1)}{2\sinh \pi }-\frac{1}{2}


οπότε το ζητούμενο άθροισμα είναι

\dfrac{\pi \cosh (\pi -1)}{\sinh \pi }


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με συνημίτονο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Αύγ 17, 2018 12:37 am

Ωραία προσπαθήστε να δώσετε μια απάντηση με μιγαδική ! ( έχω λόγο που το θέτω )


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 1905
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Σειρά με συνημίτονο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Παρ Αύγ 17, 2018 1:45 am

Tolaso J Kos έγραψε:
Παρ Αύγ 17, 2018 12:37 am
Ωραία προσπαθήστε να δώσετε μια απάντηση με μιγαδική ! ( έχω λόγο που το θέτω )
Δεν καταλαβαίνω τον λόγο Τόλη.

Υπάρχει ΛΑΓΟΣ από την Μιγαδική που δίνει το άθροισμα που έχει αφήσει
ο Μιχάλης (αν εννοείς αυτό)

Αν διαβαστεί προσεκτικά το
https://www.dpmms.cam.ac.uk/~tkc/comple ... apter4.pdf

προκύπτει ο τύπος

\cot \pi z=\frac{1}{\pi }(\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty }\frac{2z}{z^{2}-n^{2}})

για τα z που έχει νόημα .

Θέτοντας z=i υπολογίζουμε το \sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{2}+1}

Αυτό κατά την γνώμη μου δεν είναι Μαθηματικά.Είναι κυνήγι λαγών.
Μαθηματικά είναι η λύση που έδωσε ο Μιχάλης.


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με συνημίτονο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Αύγ 17, 2018 8:09 am

Όχι Σταύρο ,

εννοώ να υπολογιστεί το αρχικό άθροισμα χρησιμοποιώντας μεθόδους μιγαδικής ανάλυσης. Χωρίς καν να περάσουμε στo άθροισμα \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2+1}}.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 3477
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα
Επικοινωνία:

Re: Σειρά με συνημίτονο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Παρ Αύγ 17, 2018 2:09 pm

Αυτό που ήθελα να πω είναι πως ο συνηθισμένος πυρήνας , δηλ. η συνάρτηση \displaystyle{f(z) = \frac{\pi \cot \pi z \cos z}{z^2+1}} δε δουλεύει. Θα ήταν μια πολύ φυσική επιλογή μιγαδικής συνάρτησης για την ανάκτηση της σειράς αλλά το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{C} = \oint \limits_{\Gamma_N} \frac{\pi \cot \pi z \cos z}{z^2+1} \, \mathrm{d}z}
όπου \Gamma_N ας πούμε ένα τετράγωνο δε τείνει στο 0. Πρέπει λοιπόν να βρεθεί μία άλλη μιγαδική συνάρτηση και άλλο contour ώστε να εφαρμοστεί το residue theorem.



Σημείωση: Τόσο το Wolfram όσο και το Mathematica δεν υπολογίζουν τη σειρά αυτή. Συγκεκριμένα βγάζουν ένα αποτέλεσμα με υπεργεωμετρική συνάρτηση και μιγαδικά ορίσματα.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες