Ολοκλήρωμα γενικευμένο

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
diomides
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 10:10 am

Ολοκλήρωμα γενικευμένο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από diomides » Τρί Αύγ 21, 2018 1:36 pm

\int_{0}^{1}\frac{1}{1+log^{2}x}dx ,



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα γενικευμένο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τρί Αύγ 21, 2018 2:08 pm

diomides έγραψε:
Τρί Αύγ 21, 2018 1:36 pm
\int_{0}^{1}\frac{1}{1+log^{2}x}dx

Έχουμε διαδοχικά :
\displaystyle{\begin{aligned} 
\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d}x}{1+\log^2 x} &\overset{u=-\log x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-u}}{1+u^2} \, \mathrm{d}u \\  
 &=\cancelto{0}{\left [ \arctan u  \; e^{-u}  \right ]_0^\infty} + \int_{0}^{\infty} \arctan u\; e^{-u} \, \mathrm{d}u \\  
 &=\mathrm{Ci}(1) \sin 1 - \mathrm{Si}(1) \cos 1 + \frac{\pi \cos 1}{2} \\  
 &\approx 0.62145 
\end{aligned}}
αφού ο μετασχηματισμός Laplace του \arctan είναι:

\displaystyle{\mathcal{L}\left \{ \arctan  \right \}(t) = \frac{2 \mathrm{Ci}(s) \sin s + \left ( \pi -2 \mathrm{Si}(s) \right ) \cos s}{2s}}

όπου \mathrm{Ci} η συνάρτηση Cosine Integral και \mathrm{Si} η συνάρτηση Sine integral.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Άβαταρ μέλους
diomides
Δημοσιεύσεις: 96
Εγγραφή: Τετ Ιουν 30, 2010 10:10 am

Re: Ολοκλήρωμα γενικευμένο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από diomides » Τρί Αύγ 21, 2018 3:47 pm

ευχαριστω πολυ


ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3005
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκλήρωμα γενικευμένο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Αύγ 22, 2018 12:07 pm

Οπως έγραψε ο Τόλης παραπάνω αρκεί να υπολογίσουμε το

I=\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-u}}{1+u^2} du

Θέτουμε

f(x)=\int_{0}^{\infty} \frac{e^{-xu}}{1+u^2} du

Εύκολα διαπιστώνουμε ότι μπορούμε να αλλάξουμε την παράγωγο με το ολοκλήρωμα όποτε

f''(x)+f(x)=\int_{0}^{\infty }e^{-xu}du=\frac{1}{x},x>0

Εχουμε μια διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης γραμμική.

Η γενική λύση της ομογενούς είναι c_{1}\cos x+c_{2}\sin x

Εστω c_{1}(x)\cos x+c_{2}(x)\sin x μία ειδική λύση.

Κατα τα γνωστά θα είναι c_{1}'(x)\cos x+c_{2}'(x)\sin x=0,c_{2}'(x)\cos x-c_{1}'(x)\sin x=\frac{1}{x}

Λύνοντας η γενική λύση θα είναι

f(x)=c_{1}\cos x+c_{2}\sin x-\cos x\int_{1}^{x}\frac{\sin t}{t}dt+\sin x\int_{1}^{x}\frac{\cos t}{t}dt(1)

Από το θεώρημα κυριαρχημένης σύγκλισης βλέπουμε ότι \lim_{x\rightarrow \infty }f(x)=0

Στην (1) τα γενικευμένα ολοκληρώματα συγκλίνουν.

Παίρνοντας τις ακολουθίες 2n\pi, 2n\pi+\frac{\pi }{2} και όριο στο \infty

βρίσκουμε τα c_{1},c_{2}

Ετσι έχουμε

f(x)=(\int_{1}^{\infty }\frac{\sin t}{t}dt)\cos x-(\int_{1}^{\infty }\frac{\cos t}{t}dt)\sin x-\cos x\int_{1}^{x}\frac{\sin t}{t}dt+\sin x\int_{1}^{x}\frac{\cos t}{t}dt

και I=f(1)=(\int_{1}^{\infty }\frac{\sin t}{t}dt)\cos 1-(\int_{1}^{\infty }\frac{\cos t}{t}dt)\sin 1


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα γενικευμένο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Αύγ 22, 2018 8:26 pm

Ωραία Σταύρο. Αυτή είναι και η απόδειξη του μετασχηματισμού Laplace της \arctan.


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3005
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκλήρωμα γενικευμένο

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Αύγ 22, 2018 8:34 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Αύγ 22, 2018 8:26 pm
Ωραία Σταύρο. Αυτή είναι και η απόδειξη του μετασχηματισμού Laplace της \arctan.
Τόλη εγώ στην ουσία υπολόγισα τον Laplace της \frac{1}{1+x^{2}}
που φυσικά έχει σχέση με τον Laplace της \arctan x
αφού είναι η παράγωγος της.

Πάντως εγώ δεν θεωρώ ότι αυτός είναι υπολογισμός.
(για το αρχικό ολοκλήρωμα εννοώ)


Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4256
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα γενικευμένο

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Τετ Αύγ 22, 2018 8:43 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Αύγ 22, 2018 8:34 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Αύγ 22, 2018 8:26 pm
Ωραία Σταύρο. Αυτή είναι και η απόδειξη του μετασχηματισμού Laplace της \arctan.
Πάντως εγώ δεν θεωρώ ότι αυτός είναι υπολογισμός.
(για το αρχικό ολοκλήρωμα εννοώ)
Προφανώς. Προσωπικά δεν είμαι και τόσο fan αυτών των συναρτήσεων. Τις γνωρίζω με τον τύπο τους αλλά μέχρι εκεί. Ας συνεχίσουμε λίγο. Δείξατε ότι το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^\infty \frac{\mathrm{d}x}{1+\log^2 x}}
αποκλίνει. Παράξενο ε; Θα περίμενε κάποιος να συγκλίνει!!


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3005
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ολοκλήρωμα γενικευμένο

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Τετ Αύγ 22, 2018 8:59 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Αύγ 22, 2018 8:43 pm
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε:
Τετ Αύγ 22, 2018 8:34 pm
Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Αύγ 22, 2018 8:26 pm
Ωραία Σταύρο. Αυτή είναι και η απόδειξη του μετασχηματισμού Laplace της \arctan.
Πάντως εγώ δεν θεωρώ ότι αυτός είναι υπολογισμός.
(για το αρχικό ολοκλήρωμα εννοώ)
Προφανώς. Προσωπικά δεν είμαι και τόσο fan αυτών των συναρτήσεων. Τις γνωρίζω με τον τύπο τους αλλά μέχρι εκεί. Ας συνεχίσουμε λίγο. Δείξατε ότι το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^\infty \frac{\mathrm{d}x}{1+\log^2 x}}
αποκλίνει. Παράξενο ε; Θα περίμενε κάποιος να συγκλίνει!!
Δεν συγκλίνει .Ο λόγος είναι ο λογάριθμος πάει στο άπειρο όταν το xπάει στο άπειρο πολύ-πολύ-αργά.

Η απόδειξη είναι

Επειδή

\log x=\log (x^{a})^{\frac{1}{a}}< \frac{1}{a}x^{a}

για x>1

είναι \frac{1}{1+(\log x)^{2}}\geq \frac{1}{1+\frac{x^{2a}}{a^{2}}}

παίρνοντας a=\frac{1}{2} η μικρότερο από το κριτήριο σύγκρισης παίρνουμε ότι το

ολοκλήρωμα είναι άπειρο


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 12126
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: Ολοκλήρωμα γενικευμένο

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Αύγ 22, 2018 9:07 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Τετ Αύγ 22, 2018 8:43 pm
Ας συνεχίσουμε λίγο. Δείξατε ότι το ολοκλήρωμα

\displaystyle{\mathcal{J} = \int_0^\infty \frac{\mathrm{d}x}{1+\log^2 x}}
αποκλίνει. Παράξενο ε; Θα περίμενε κάποιος να συγκλίνει!!
Για x\ge e είναι  1+\log^2 x \le 1+x\log x \le 2 x\log x . Άρα \displaystyle{ \int_e^X \frac{\mathrm{d}x}{1+\log^2 x}}\ge \int_e^X \frac{\mathrm{d}x}{2x\log x}= \frac {1}{2}\log (\log X) \to \infty}

Edit: Με πρόλαβαν...


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες