Όγκος, εμβαδόν, επικαμπύλια

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Όγκος, εμβαδόν, επικαμπύλια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Δευ Αύγ 27, 2018 5:41 pm

Έστωσαν η επιφάνεια E με παραμετρική παράσταση
\overline{R}:[0,6)&\times[0,2\pi]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad 
\overline{R}(r,\theta)=\left({\begin{array}{c}                      
	\frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\cos{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
	\frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\sin{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
	r 
	\end{array}}\right)\,,
και S_{+} το άνω ημισφαίριο της σφαίρας x^2+y^2+z^2=36.
  1. Να βρεθεί ο όγκος του στερεού \Sigma που περικλείεται από τις επιφάνειες E, S_{+} και το επίπεδο z=0.
  2. Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας (S_{+})\cap \Sigma.
  3. Έστωσαν η συνάρτηση f:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}\,; \; f(x,y,z)=x z \,(36-z^2)^2 και η καμπύλη c που προκύπτει από την τομή της επιφάνειας \partial\Sigma και του ημιεπιπέδου \Pi: \big\{(x,0,z)\in{\mathbb{R}}^3\;|\; x\geqslant0 \big\}. Να βρεθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα \oint_{c}f\,ds.
  4. Έστω το διανυσματικό πεδίο \overline{F}:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,;\quad\overline{F}(x,y,z)=\left({y-x\,,\,y^3z\,,\,z^2}\right)\,. Να βρεθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα \oint_{c}\overline{F}\cdot d\overline{r}.


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma

Λέξεις Κλειδιά:
KDORTSI
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1928
Εγγραφή: Τετ Μαρ 11, 2009 9:26 pm

Re: Όγκος, εμβαδόν, επικαμπύλια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KDORTSI » Παρ Σεπ 07, 2018 6:02 pm

grigkost έγραψε:
Δευ Αύγ 27, 2018 5:41 pm
Έστωσαν η επιφάνεια E με παραμετρική παράσταση
\overline{R}:[0,6)&\times[0,2\pi]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad 
\overline{R}(r,\theta)=\left({\begin{array}{c}                      
	\frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\cos{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
	\frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\sin{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
	r 
	\end{array}}\right)\,,
και S_{+} το άνω ημισφαίριο της σφαίρας x^2+y^2+z^2=36.
  1. Να βρεθεί ο όγκος του στερεού \Sigma που περικλείεται από τις επιφάνειες E, S_{+} και το επίπεδο z=0.
  2. Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας (S_{+})\cap \Sigma.
  3. Έστωσαν η συνάρτηση f:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}\,; \; f(x,y,z)=x z \,(36-z^2)^2 και η καμπύλη c που προκύπτει από την τομή της επιφάνειας \partial\Sigma και του ημιεπιπέδου \Pi: \big\{(x,0,z)\in{\mathbb{R}}^3\;|\; x\geqslant0 \big\}. Να βρεθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα \oint_{c}f\,ds.
  4. Έστω το διανυσματικό πεδίο \overline{F}:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,;\quad\overline{F}(x,y,z)=\left({y-x\,,\,y^3z\,,\,z^2}\right)\,. Να βρεθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα \oint_{c}\overline{F}\cdot d\overline{r}.
Γρηγόρη καλησπέρα από τα γειτονικά Γρεβενά...

Με προκαλούν οι μορφές των επιφανειών που επινοείς κάθε φορά κι έτσι απολαμβάνω την κατασκευή τους με
τη βοήθεια των λογισμικών...


Για την επιφάνεια που αναφέρεται στην ανωτέρω άσκηση παραθέτω τα κατωτέρω στατικά σχήματα:
1ο Σχήμα:
Επιφάνεια Ια.png
Επιφάνεια Ια.png (32.16 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές
Στο σχήμα αυτό φαίνεται το τμήμα της επιφάνειας αυτής που περιέχεται στο δοθέν ημισφαίριο ακτίνας ίσης
με \displaystyle{R=(OA)=(OB)=6}.
Ο κόκκινος κύκλος στον οποίο περατώνεται το τμήμα της επιφάνειας αυτής είναι ένας παράλληλος κύκλος
προς τον οριζόντιο μέγιστο κύκλο της σφαίρας και εύκολα υπολογίζεται ότι έχει ακτίνα ίση με:
\displaystyle{r=3\sqrt(2)}

2ο Σχήμα:
Εμβαδόν Ια.png
Εμβαδόν Ια.png (130.7 KiB) Προβλήθηκε 471 φορές
Στο σχήμα αυτό φαίνεται το στερεό του οποίου ζητούμε να υπολογίσουμε τον όγκο του.
Το στερεό αυτό είναι ένα "σφαιρκό τμήμα" με ακτίνες αντίστοιχα
\displaystyle{R=6, \  \ r=3\sqrt(2)}
και ύψος:
\displaystyle{h=3\sqrt(2)}
και από το οποίο αφαιρείται το μέρος του χώρου που περιβάλλεται από το τμήμα της επιφάνειας
που εμφανίζεται και από τον παράλληλο κύκλο που αναφέρθηκε ανωτέρω.
Αρκεί λοιπόν να βρούμε το μέρος αυτό του χώρου που είναι ένα στερεό εκ περιστροφής.

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα με οδηγίες χρήσης.
Εμβαδόν 3α.ggb
(14.74 KiB) Μεταφορτώθηκε 28 φορές
Κώστας Δόρτσιος


Άβαταρ μέλους
grigkost
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 2875
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:54 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Re: Όγκος, εμβαδόν, επικαμπύλια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από grigkost » Παρ Σεπ 07, 2018 7:42 pm

καλησπέρα Κώστα

όμορφη και ακριβής η παρουσίασή σου. Επέτρεψέ μου να δώσω και την δική μου (έως την εύρεση του όγκου και του εμβαδού)


Η επιφάνεια E με παραμετρική παράσταση \overline{R}:[0,6)\times[0,2\pi]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad 
\overline{R}(r,\theta)=\left({\begin{array}{c}                      
	\frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\cos{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
	\frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\sin{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
	r 
	\end{array}}\right)\,,
είναι μια επιφάνεια εκ περιστροφής της επίπεδης καμπύλης \overline{\gamma}_1(t)=\big(\frac{t^2}{\sqrt{36-t^2}},0,\,t\big)\,,\; t\in[0,6), περί τον z-άξονα. Ομοίως το άνω ημισφαίριο S_{+} της σφαίρας x^2+y^2+z^2=36, είναι μια επιφάνεια εκ περιστροφής της επίπεδης καμπύλης \overline{\gamma}_2(t)=\big(t,0,\,\sqrt{36-t^2}\,\big)\,,\; t\in[0,6], περί τον z-άξονα.
Επομένως, αν (x_0,0,z_0) είναι ένα σημείο τομής των \overline{\gamma}_1, \overline{\gamma}_2, τότε η περιφέρεια \big(x_0\cos\theta, x_0\sin\theta,z_0\big)\,, \; \theta\in[0,2\pi] είναι κοινή για τις επιφάνειες E και S_{+}.
valint_01.png
valint_01.png (86.81 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές
Επειδή \begin{aligned} 
\left\{\begin{array}{c} 
\frac{t^2}{\sqrt{36-t^2}}=t\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
t=\sqrt{36-t^2}\end{array} \right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{c} 
t\geqslant0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
t^2=36-t^2\end{array} \right\}\quad\Leftrightarrow\quad t=3\sqrt{2}\,, 
\end{aligned}
έπεται ότι μόνο η περιφέρεια \big(3\sqrt{2}\cos\theta, 3\sqrt{2}\sin\theta,3\sqrt{2}\,\big)\,, \; \theta\in[0,2\pi] είναι κοινή των δυο επιφανειών και επομένως το στερεό \Sigma περικλείεται από τις επιφάνειες E_1=E\,\big|_{[0,3\sqrt{2}\,]\times[0,2\pi]} και S_1=S_{+}\,\big|_{[3\sqrt{2},6]\times[0,2\pi]} και το επίπεδο z=0.

valint_02.png
valint_02.png (96.43 KiB) Προβλήθηκε 447 φορές
  1. Ο όγκος του στερεού \Sigma ισούται με \begin{aligned} 
V(\Sigma)&=\pi\int_{3\sqrt{2}}^{6}\Big|t^2\,\frac{d}{dt}\,\sqrt{36-t^2}\,\Big|\,dt-\pi\int_{0}^{3\sqrt{2}}\bigg|\Big(\frac{t^2}{\sqrt{36-t^2}}\Big)^2\,\frac{d}{dt}\,t\bigg|\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=\pi\int_{3\sqrt{2}}^{6}\frac{t^3}{\sqrt{36-t^2}}\,dt-\pi\int_{0}^{3\sqrt{2}}\frac{t^4}{36-t^2}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=90\pi\sqrt{2}-108\pi\log\big(3+2\sqrt{2}\,\big)+126\pi\sqrt{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=216\pi\sqrt{2}-108\pi\log\big(3+2\sqrt{2}\,\big)\,. 
\end{aligned}
  2. Το εμβαδόν της επιφάνειας (S_{+})\cap \Sigma ισούται με \begin{aligned} 
A\big((S_{+})\cap \Sigma\big)&=2\pi\bigintsss_{3\sqrt{2}}^{6}t\sqrt{1+\Big(\frac{d}{dt}\sqrt{36-t^2}\Big)^2}\;dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=2\pi\int_{3\sqrt{2}}^{6}\frac{6t}{\sqrt{36-t^2}}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} 
&=36\pi\sqrt{2}\,. 
\end{aligned}


{\color{dred}\Gamma\!\rho\,{\rm{H}}\gamma\varnothing\varrho{\mathscr{H}}\varsigma \ {\mathbb{K}}\,\Omega\sum{\rm{t}}{\mathscr{A}}\,{\mathbb{K}}\!\odot\varsigma
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης