Όγκος, εμβαδόν, επικαμπύλια

#1

Έστωσαν η επιφάνεια

με παραμετρική παράσταση
$\overline{R}:[0,6)&\times[0,2\pi]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(r,\theta)=\left({\begin{array}{c} \frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\cos{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\sin{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} r \end{array}}\right)\,,$
και $S_{+}$ το άνω ημισφαίριο της σφαίρας x^2+y^2+z^2=36

.

Να βρεθεί ο όγκος του στερεού $\Sigma$ που περικλείεται από τις επιφάνειες , $S_{+}$ και το επίπεδο .
Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας $(S_{+})\cap \Sigma$ .
Έστωσαν η συνάρτηση $f:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}\,; \; f(x,y,z)=x z \,(36-z^2)^2$ και η καμπύλη που προκύπτει από την τομή της επιφάνειας $\partial\Sigma$ και του ημιεπιπέδου $\Pi: \big\{(x,0,z)\in{\mathbb{R}}^3\;|\; x\geqslant0 \big\}$ . Να βρεθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα $\oint_{c}f\,ds$ .
Έστω το διανυσματικό πεδίο $\overline{F}:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,;\quad\overline{F}(x,y,z)=\left({y-x\,,\,y^3z\,,\,z^2}\right)\,.$ Να βρεθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα $\oint_{c}\overline{F}\cdot d\overline{r}$ .

#2

grigkost έγραψε: ↑
Δευ Αύγ 27, 2018 5:41 pm
Έστωσαν η επιφάνεια με παραμετρική παράσταση
$\overline{R}:[0,6)&\times[0,2\pi]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(r,\theta)=\left({\begin{array}{c} \frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\cos{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\sin{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} r \end{array}}\right)\,,$
και $S_{+}$ το άνω ημισφαίριο της σφαίρας .

Να βρεθεί ο όγκος του στερεού $\Sigma$ που περικλείεται από τις επιφάνειες , $S_{+}$ και το επίπεδο .

Να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειας $(S_{+})\cap \Sigma$ .

Έστωσαν η συνάρτηση $f:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}\,; \; f(x,y,z)=x z \,(36-z^2)^2$ και η καμπύλη που προκύπτει από την τομή της επιφάνειας $\partial\Sigma$ και του ημιεπιπέδου $\Pi: \big\{(x,0,z)\in{\mathbb{R}}^3\;|\; x\geqslant0 \big\}$ . Να βρεθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα $\oint_{c}f\,ds$ .

Έστω το διανυσματικό πεδίο $\overline{F}:{\mathbb{R}}^3\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,;\quad\overline{F}(x,y,z)=\left({y-x\,,\,y^3z\,,\,z^2}\right)\,.$ Να βρεθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα $\oint_{c}\overline{F}\cdot d\overline{r}$ .

Γρηγόρη καλησπέρα από τα γειτονικά Γρεβενά...

Με προκαλούν οι μορφές των επιφανειών που επινοείς κάθε φορά κι έτσι απολαμβάνω την κατασκευή τους με
τη βοήθεια των λογισμικών...

Για την επιφάνεια που αναφέρεται στην ανωτέρω άσκηση παραθέτω τα κατωτέρω στατικά σχήματα:
1ο Σχήμα:

: Επιφάνεια Ια.png (32.16 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται το τμήμα της επιφάνειας αυτής που περιέχεται στο δοθέν ημισφαίριο ακτίνας ίσης
με $\displaystyle{R=(OA)=(OB)=6}$ .
Ο κόκκινος κύκλος στον οποίο περατώνεται το τμήμα της επιφάνειας αυτής είναι ένας παράλληλος κύκλος
προς τον οριζόντιο μέγιστο κύκλο της σφαίρας και εύκολα υπολογίζεται ότι έχει ακτίνα ίση με:
$\displaystyle{r=3\sqrt(2)}$

2ο Σχήμα:

: Εμβαδόν Ια.png (130.7 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

Στο σχήμα αυτό φαίνεται το στερεό του οποίου ζητούμε να υπολογίσουμε τον όγκο του.
Το στερεό αυτό είναι ένα "σφαιρκό τμήμα" με ακτίνες αντίστοιχα
$\displaystyle{R=6, \ \ r=3\sqrt(2)}$
και ύψος:
$\displaystyle{h=3\sqrt(2)}$
και από το οποίο αφαιρείται το μέρος του χώρου που περιβάλλεται από το τμήμα της επιφάνειας
που εμφανίζεται και από τον παράλληλο κύκλο που αναφέρθηκε ανωτέρω.
Αρκεί λοιπόν να βρούμε το μέρος αυτό του χώρου που είναι ένα στερεό εκ περιστροφής.

Παραθέτω και το δυναμικό σχήμα με οδηγίες χρήσης.

Εμβαδόν 3α.ggb: (14.74 KiB) Μεταφορτώθηκε 42 φορές

Κώστας Δόρτσιος

#3

καλησπέρα Κώστα

όμορφη και ακριβής η παρουσίασή σου. Επέτρεψέ μου να δώσω και την δική μου (έως την εύρεση του όγκου και του εμβαδού)

Η επιφάνεια

με παραμετρική παράσταση $\overline{R}:[0,6)\times[0,2\pi]\longrightarrow{\mathbb{R}}^3\,; \quad \overline{R}(r,\theta)=\left({\begin{array}{c} \frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\cos{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} \frac{r^2}{\sqrt{36-r^2}}\,\sin{\theta}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} r \end{array}}\right)\,,$
είναι μια επιφάνεια εκ περιστροφής της επίπεδης καμπύλης $\overline{\gamma}_1(t)=\big(\frac{t^2}{\sqrt{36-t^2}},0,\,t\big)\,,\; t\in[0,6)$ , περί τον

-άξονα. Ομοίως το άνω ημισφαίριο $S_{+}$ της σφαίρας x^2+y^2+z^2=36

, είναι μια επιφάνεια εκ περιστροφής της επίπεδης καμπύλης $\overline{\gamma}_2(t)=\big(t,0,\,\sqrt{36-t^2}\,\big)\,,\; t\in[0,6]$ , περί τον

-άξονα.
Επομένως, αν (x_0,0,z_0)

είναι ένα σημείο τομής των $\overline{\gamma}_1$ , $\overline{\gamma}_2$ , τότε η περιφέρεια $\big(x_0\cos\theta, x_0\sin\theta,z_0\big)\,, \; \theta\in[0,2\pi]$ είναι κοινή για τις επιφάνειες

και $S_{+}$ .

: valint_01.png (86.81 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

Επειδή $\begin{aligned} \left\{\begin{array}{c} \frac{t^2}{\sqrt{36-t^2}}=t\\\noalign{\vspace{0.1cm}} t=\sqrt{36-t^2}\end{array} \right\}\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{c} t\geqslant0\\\noalign{\vspace{0.1cm}} t^2=36-t^2\end{array} \right\}\quad\Leftrightarrow\quad t=3\sqrt{2}\,, \end{aligned}$
έπεται ότι μόνο η περιφέρεια $\big(3\sqrt{2}\cos\theta, 3\sqrt{2}\sin\theta,3\sqrt{2}\,\big)\,, \; \theta\in[0,2\pi]$ είναι κοινή των δυο επιφανειών και επομένως το στερεό $\Sigma$ περικλείεται από τις επιφάνειες $E_1=E\,\big|_{[0,3\sqrt{2}\,]\times[0,2\pi]}$ και $S_1=S_{+}\,\big|_{[3\sqrt{2},6]\times[0,2\pi]}$ και το επίπεδο z=0

.

: valint_02.png (96.43 KiB) Προβλήθηκε 799 φορές

Ο όγκος του στερεού $\Sigma$ ισούται με $\begin{aligned} V(\Sigma)&=\pi\int_{3\sqrt{2}}^{6}\Big|t^2\,\frac{d}{dt}\,\sqrt{36-t^2}\,\Big|\,dt-\pi\int_{0}^{3\sqrt{2}}\bigg|\Big(\frac{t^2}{\sqrt{36-t^2}}\Big)^2\,\frac{d}{dt}\,t\bigg|\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=\pi\int_{3\sqrt{2}}^{6}\frac{t^3}{\sqrt{36-t^2}}\,dt-\pi\int_{0}^{3\sqrt{2}}\frac{t^4}{36-t^2}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=90\pi\sqrt{2}-108\pi\log\big(3+2\sqrt{2}\,\big)+126\pi\sqrt{2}\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=216\pi\sqrt{2}-108\pi\log\big(3+2\sqrt{2}\,\big)\,. \end{aligned}$
Το εμβαδόν της επιφάνειας $(S_{+})\cap \Sigma$ ισούται με $\begin{aligned} A\big((S_{+})\cap \Sigma\big)&=2\pi\bigintsss_{3\sqrt{2}}^{6}t\sqrt{1+\Big(\frac{d}{dt}\sqrt{36-t^2}\Big)^2}\;dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=2\pi\int_{3\sqrt{2}}^{6}\frac{6t}{\sqrt{36-t^2}}\,dt\\\noalign{\vspace{0.1cm}} &=36\pi\sqrt{2}\,. \end{aligned}$

Όγκος, εμβαδόν, επικαμπύλια

Όγκος, εμβαδόν, επικαμπύλια

Re: Όγκος, εμβαδόν, επικαμπύλια

Re: Όγκος, εμβαδόν, επικαμπύλια

Μέλη σε σύνδεση