Σύγκλιση μετρήσιμων συναρτήσεων

Tolaso J Kos · #1

Έστω $\mathcal{M}$ οικογένεια μετρήσιμων συνόλων και $\mathcal{X} \in \mathcal{M}$ με $\mu(\mathcal{X}) < \infty$ . Για κάθε $f, g: \mathcal{X} \rightarrow \mathbb{R}$ θέτουμε

$\displaystyle{\rho(f, g) = \int \limits_{\mathcal{X}} \frac{\left | f-g \right |}{1+\left | f-g \right |} }$
Δείξατε ότι $\rho \left( f_n , f \right) \rightarrow 0$ αν και μόνο αν $f_n \rightarrow f$ κατά μέτρο.

Από θέμα εξετάσεων ... Χαριτωμένη τη βρήκα. Πρέπει να την έχω δει και αλλού αυτή...

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 09, 2018 11:20 pm
Έστω $\mathcal{M}$ οικογένεια μετρήσιμων συνόλων και $\mathcal{X} \in \mathcal{M}$ με $\mu(\mathcal{X}) < \infty$ . Για κάθε $f, g: \mathcal{X} \rightarrow \mathbb{R}$ θέτουμε

$\displaystyle{\rho(f, g) = \int \limits_{\mathcal{X}} \frac{\left | f-g \right |}{1+\left | f-g \right |} }$
Δείξατε ότι $\rho \left( f_n , f \right) \rightarrow 0$ αν και μόνο αν $f_n \rightarrow f$ κατά μέτρο.

$\displaystyle{(\Leftarrow )}$ . Έστω $\epsilon >0$ . Εξ υποθέσεως ισχύει $\mu (A_n) \to 0$ , όπου $A_n = \{x\in X | |f_n(x)-f(x)| \ge \epsilon \}$ . Ειδικά υπάρχει n_0

τέτοιο ώστε για κάθε $n\ge n_o$ είναι $\mu (A_n) < \epsilon$ .
Έτσι
$\displaystyle{\rho \left( f_n , f \right) = \int \limits_{A_n} \frac{\left | f_n-f \right |}{1+\left | f_n-f \right |} }+ \int \limits_{X-A_n} \frac{\left | f_n-f \right |}{1+\left | f_n-f \right |} } \le \int \limits_{A_n} 1+ \int \limits_{X-A_n} \frac{\epsilon }{1+\epsilon } \le }}$

$\displaystyle{ \le \mu (A_n)+ \frac{\epsilon }{1+\epsilon } \mu (X) < \epsilon + \frac{\epsilon }{1+\epsilon } \mu (X) < c \epsilon }$ .

$\displaystyle{(\Rightarrow )}$ . Έστω c >0

σταθερό. Θέτουμε $A_n = \{x\in X | |f_n(x)-f(x)| \ge c \}$ . Θέλουμε να αποδείξουμε ότι $\mu (A_n) \to 0$ .

Έχουμε

$\displaystyle{\rho \left( f_n , f \right) \ge \int \limits_{A_n} \frac{\left | f_n-f \right |}{1+\left | f_n-f \right |} } \ge \int \limits_{A_n} \frac{\left c}{1+c }= \frac{\left c}{1+c }\mu (A_n)}$

Άρα

$\displaystyle{0 \le \mu (A_n) \le \frac {1+c}{c} \rho \left( f_n , f \right) \to 0 }$

Σύγκλιση μετρήσιμων συναρτήσεων

Σύγκλιση μετρήσιμων συναρτήσεων

Re: Σύγκλιση μετρήσιμων συναρτήσεων

Μέλη σε σύνδεση