Μη μηδενική ακολουθία
Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος
- Tolaso J Kos
- Δημοσιεύσεις: 5226
- Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
- Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
- Επικοινωνία:
Μη μηδενική ακολουθία
Ας αναβιώσουμε την άσκηση που βρίσκεται στο σύνδεσμο εδώ....
Για μία ακολουθία πραγματικών αριθμών ας δηλώνει η την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων . Μπορεί κάποιος να βρει μια μη μηδενική ακολουθία για την οποία οι ακολουθίες να είναι όλες συγκλίνουσες;
Για μία ακολουθία πραγματικών αριθμών ας δηλώνει η την ακολουθία των μερικών αθροισμάτων . Μπορεί κάποιος να βρει μια μη μηδενική ακολουθία για την οποία οι ακολουθίες να είναι όλες συγκλίνουσες;
Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
Λέξεις Κλειδιά:
- Γ.-Σ. Σμυρλής
- Δημοσιεύσεις: 578
- Εγγραφή: Κυρ Οκτ 14, 2012 9:47 am
- Τοποθεσία: Λευκωσία, Κύπρος
Re: Μη μηδενική ακολουθία
Ἔστω μία τέτοια ἀκολουθία. Παρατηροῦμε ὅτι τόσο ἡ ἀκολουθία ὅσο καὶ ὅλες οἱ ἀκολουθίες , ποὺ προκύπτουν μέσω ἐπαναλαμβανομένων μερικῶν ἀθροισμάτων, συγκλίνουν στὸ μηδέν.
Θέτομε . Ἀφοῦ ἡ συγκλίνει στὸ μηδέν, τότε ἡ εἶναι ἀναλυτικὴ στὸν μοναδιαῖο δίσκο
καὶ ἐπὶ πλέον .
Ἡ ἀναλυτικὴ συνάρτηση ποὺ ἀντιστοιχεῖ στὴν εἶναι βεβαίως ἡ
καὶ παρομοίως, θὰ πρέπει νὰ ἔχομε ὅτι , ἀφοῦ ἡ τείνει στὸ 0. Ἐπαναλαμβάνοντας τὸ ἴδιο ἐπιχείρημα, λαμβάνομε ὅτι ἡ ἔχει ρίζα ἄπειρης τάξεως στὸ , τὸ ὁποῖο εἶναι βεβαίως ἀδύνατο, ἐκτὸς καὶ ἂν τὸ ἀποτελεῖ οὐσιώδη ἰδιομορφία τῆς .
Πράγματι, ἡ
ἔχει τὶς ἀπαιτούμενες ἰδιότητες!
Ἂν λοιπὸν, , τὸτε ἡ συγκλίνει, μαζὶ μὲ ὅλα τὰ ἐπαναλαμβανόμενά της μερικὰ ἀθροίσματα.
Θέτομε . Ἀφοῦ ἡ συγκλίνει στὸ μηδέν, τότε ἡ εἶναι ἀναλυτικὴ στὸν μοναδιαῖο δίσκο
καὶ ἐπὶ πλέον .
Ἡ ἀναλυτικὴ συνάρτηση ποὺ ἀντιστοιχεῖ στὴν εἶναι βεβαίως ἡ
καὶ παρομοίως, θὰ πρέπει νὰ ἔχομε ὅτι , ἀφοῦ ἡ τείνει στὸ 0. Ἐπαναλαμβάνοντας τὸ ἴδιο ἐπιχείρημα, λαμβάνομε ὅτι ἡ ἔχει ρίζα ἄπειρης τάξεως στὸ , τὸ ὁποῖο εἶναι βεβαίως ἀδύνατο, ἐκτὸς καὶ ἂν τὸ ἀποτελεῖ οὐσιώδη ἰδιομορφία τῆς .
Πράγματι, ἡ
ἔχει τὶς ἀπαιτούμενες ἰδιότητες!
Ἂν λοιπὸν, , τὸτε ἡ συγκλίνει, μαζὶ μὲ ὅλα τὰ ἐπαναλαμβανόμενά της μερικὰ ἀθροίσματα.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες