Ας ανακαλύψουμε ... την εκθετική

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4493
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ας ανακαλύψουμε ... την εκθετική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Σεπ 23, 2018 11:52 am

Έστω x ένας πραγματικός αριθμός. Ορίζουμε την ακολουθία \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} αναδρομικά ως x_1=1 και

\displaystyle{x_{n+1} = x^n + n x_n \quad \text{\gr για κάθε} \;\; n \geq 1} Αποδείξατε ότι

\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 -\frac{x^n}{x_{n+1}} \right) = e^{-x}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ
Δημοσιεύσεις: 3307
Εγγραφή: Πέμ Φεβ 27, 2014 9:05 am
Τοποθεσία: ΧΑΛΚΙΔΑ- ΑΘΗΝΑ-ΚΡΗΤΗ

Re: Ας ανακαλύψουμε ... την εκθετική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ » Κυρ Σεπ 23, 2018 2:30 pm

Tolaso J Kos έγραψε:
Κυρ Σεπ 23, 2018 11:52 am
Έστω x ένας πραγματικός αριθμός. Ορίζουμε την ακολουθία \{x_n\}_{n \in \mathbb{N}} αναδρομικά ως x_1=1 και

\displaystyle{x_{n+1} = x^n + n x_n \quad \text{\gr για κάθε} \;\; n \geq 1} Αποδείξατε ότι

\displaystyle{\prod_{n=1}^{\infty} \left( 1 -\frac{x^n}{x_{n+1}} \right) = e^{-x}}
Επειδή 1 -\frac{x^n}{x_{n+1}}=n\frac{x_{n}}{x_{n+1}}

το μερικό γινόμενο είναι \dfrac{n!}{x_{n+1}}



Αλλά κάνοντας επαγωγή μπορούμε να δείξουμε ότι

\frac{x_{n+1}}{n!}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+....+\frac{x^{n}}{n!}

(το ανακαλύπτουμε κάνοντας απαλειφή)

Αρα \frac{x_{n+1}}{n!}\rightarrow e^{x}

οπότε  \dfrac{n!}{x_{n+1}}\rightarrow e^{-x}


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης