Oλοκλήρωμα

Tolaso J Kos · #1

Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \bigintsss_{0}^{\infty } \frac{\log \left ( \sqrt{1+x^2}-x \right )}{x\sqrt{1+x^2}\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}} \; \mathrm{d}x }$

panagiotis iliopoulos · #2

Παρακαλώ αν μπορεί κάποιος να βάλει μία λύση. Φαίνεται ενδιαφέρον...

Tolaso J Kos · #3

Επαναφορά! Σχετικά βατό είναι! Το πρώτο βήμα είναι .... μία κατάλληλη αντικατάσταση ... Ποια ;

Tolaso J Kos · #4

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 02, 2018 7:53 pm
Υπολογίσατε το ολοκλήρωμα:

$\displaystyle{\mathcal{J} = \bigintsss_{0}^{\infty } \frac{\log \left ( \sqrt{1+x^2}-x \right )}{x\sqrt{1+x^2}\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}} \; \mathrm{d}x }$

Με την επιστροφή μας από τη μαμά Αφρική ας δώσουμε λύση σε μερικά θέματα που έχουν μείνει αναπάντητα.

Έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{\begin{aligned} \mathcal{J} &= \bigintsss_{0}^{\infty } \frac{\log \left ( \sqrt{1+x^2}-x \right )}{x\sqrt{1+x^2}\sqrt{x+\sqrt{1+x^2}}} \; \mathrm{d}x \\ &\!\!\!\!\!\!\!\overset{x=\sinh 2t}{=\! =\! =\! =\!=\! =\!}-4 \int_{0}^{\infty} \frac{t e^{-t}}{\sinh 2t} \; \mathrm{d}t \\ &=-8 \int_{0}^{\infty} \frac{te^{-3t}}{1-e^{-4t}} \, \mathrm{d}t \\ &=-8 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( 4n+3 \right )^2} \\ &= -4 \left ( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^2} \right )\\ &= 4 \mathcal{G} - \frac{\pi^2}{2} \end{aligned}}$
όπου $\mathcal{G}$ η σταθερά Catalan.

Oλοκλήρωμα

Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Re: Oλοκλήρωμα

Μέλη σε σύνδεση