Ολοκλήρωμα με πολυγάμμα

Συντονιστές: grigkost, Κοτρώνης Αναστάσιος

Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4119
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Ολοκλήρωμα με πολυγάμμα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Σάβ Νοέμ 17, 2018 8:05 pm

Έστω \Gamma η συνάρτηση Γάμμα και \psi^{(0)} η συνάρτηση διγάμμα. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα:

\displaystyle{\mathcal{J} = \bigintsss_{0}^{2}\frac{\Gamma^2\left ( \frac{1}{t} \right )}{2t^3 \Gamma \left ( \frac{2}{t} \right )} \bigg[ t + 2\psi^{(0)} \left ( \frac{1}{t} \right) - 2 \psi^{(0)} \left ( \frac{2}{t} \right ) \bigg] \, {\rm d}t}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Tolaso J Kos
Δημοσιεύσεις: 4119
Εγγραφή: Κυρ Αύγ 05, 2012 10:09 pm
Τοποθεσία: Λάρισα, Βαρκελώνη
Επικοινωνία:

Re: Ολοκλήρωμα με πολυγάμμα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Tolaso J Kos » Κυρ Ιαν 05, 2020 11:08 am

Έχουμε διαδοχικά:

\displaystyle{\begin{aligned} \int_{0}^{2}\frac{\Gamma^2\left ( \frac{1}{t} \right )}{2t^3 \Gamma \left ( \frac{2}{t} \right )} \bigg[ t + 2\psi\left ( \frac{1}{t} \right) - 2 \psi \left ( \frac{2}{t} \right ) \bigg]\, {\rm d}t & =\int_{0}^{2} \frac{\Gamma^2\left ( \frac{1}{t} \right )}{t^3 \Gamma\left ( \frac{2}{t} \right )} \bigg[ \frac{t}{2}+ \psi\left ( \frac{1}{t} \right ) - \psi\left ( \frac{2}{t} \right ) \bigg] \, {\rm d}t \\ &\!\!\overset{u=2/t}{=\! =\! =\!} \frac{1}{4}\int_{1}^{\infty} \frac{\Gamma \left ( \frac{u}{2} \right ) \Gamma \left ( \frac{u}{2} \right )}{\Gamma \left ( \frac{u}{2}+ \frac{u}{2} \right )} \bigg[ 1+ u \psi \left ( \frac{u}{2} \right ) - u \psi (u) \bigg] \, {\rm d}u\\ &= \frac{1}{4}\int_{1}^{\infty} {\rm B}\left ( \frac{u}{2}, \frac{u}{2} \right ) \left ( 1+ u \psi \left ( \frac{u}{2} \right )- u \psi (u) \right ) \, {\rm d}u\\ &=\frac{1}{4}\int_{1}^{\infty} {\rm B}\left ( \frac{u}{2}, \frac{u}{2} \right ) \bigg( 1+ u \left ( \psi \left ( \frac{u}{2} \right ) - \psi\left ( \frac{u}{2}+ \frac{u}{2} \right ) \right ) \bigg )\, {\rm d}u \\ &=\frac{1}{4}\int_{1}^{\infty } \bigg[{\rm B} \left ( \frac{u}{2}, \frac{u}{2} \right ) + u {\rm B}\left ( \frac{u}{2}, \frac{u}{2} \right ) \left ( \psi\left ( \frac{u}{2} \right ) - \psi \left ( \frac{u}{2}+ \frac{u}{2} \right ) \right )\bigg]\, {\rm d}u \\ &=-\frac{1}{4}\int_{1}^{\infty} \left ( u {\rm B}\left ( \frac{u}{2}, \frac{u}{2} \right ) \right )'\, {\rm d}u \\ &= \frac{\pi}{4} \end{aligned}}


Η φαντασία είναι σημαντικότερη από τη γνώση !
\displaystyle{{\color{blue}\mathbf{Life=\int_{birth}^{death}\frac{happiness}{time}\Delta time} }}
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΑΝΑΛΥΣΗ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης