int{(sin(x)-2cos(x))/(1+2sin(2x))}dx

#1

Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle\int{\frac{\sin{x}-2\,\cos{x}}{1+2\,\sin({2x})}\,dx}=\frac{1}{4\sqrt{6}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{6}+2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}{\sqrt{6}+2\,\sin{x}+2\,\cos{x}}}\right|-\frac{3}{4\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{2}-2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}{\sqrt{2}+2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}}\right|+c\,.$

Παρατηρήσεις:
1) Δεν έχω επιχειρήσει επίλυση.
2) Ίσως αυτό βοηθά.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

grigkost έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 10:29 am
Να αποδειχθεί ότι

$\displaystyle\int{\frac{\sin{x}-2\,\cos{x}}{1+2\,\sin({2x})}\,dx}=\frac{1}{4\sqrt{6}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{6}+2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}{\sqrt{6}+2\,\sin{x}+2\,\cos{x}}}\right|-\frac{3}{4\sqrt{2}}\,\log\left|{\tfrac{\sqrt{2}-2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}{\sqrt{2}+2\,\sin{x}-2\,\cos{x}}}\right|+c\,.$

Παρατηρήσεις:
1) Δεν έχω επιχειρήσει επίλυση.
2) Ίσως αυτό βοηθά.

Από ότι είδα το ολοκλήρωμα υπολογίζεται θέτοντας

$t=\tan \frac{x}{2}$

Η παράσταση μέσα στο ολοκλήρωμα θα γίνει

$\displaystyle4\frac{t-1+t^{2}}{(1+t^2)^2+8t(1-t^2)}$

Επειδή $\displaystyle(1+t^2)^2+8t(1-t^2)=(t^2-(4+\sqrt{12})t-1)(t^2-(4-\sqrt{12})t-1)$

μπορούμε να σπάσουμε σε απλά κλάσματα και να έχουμε τον υπολογισμό.

Βέβαια στο τελικό αποτέλεσμα θα έχουμε $\tan \frac{x}{2}$ και όχι $\sin x,\cos x$

που ζητάει ο Γρηγόρης.

int{(sin(x)-2cos(x))/(1+2sin(2x))}dx

int{(sin(x)-2cos(x))/(1+2sin(2x))}dx

Re: int{(sin(x)-2cos(x))/(1+2sin(2x))}dx

Μέλη σε σύνδεση