Τείνουμε στην εκθετική

Tolaso J Kos · #1

Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και τέτοια ώστε xf(x) = e^x -1

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n f^{(n)}(x)}$

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 7:16 pm
Έστω $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ συνεχής και τέτοια ώστε για κάθε $x \in \mathbb{R}$ . Να υπολογιστεί το όριο:

$\displaystyle{\ell = \lim_{n \rightarrow +\infty} n f^{(n)}(x)}$

Για

έχουμε $\displaystyle{ f(x) = \frac {e^x-1}{x} = \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(k+1)!}}$ . Εύκολα βλέπουμε επαγωγικά ότι

$\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}$ οπότε

$\displaystyle{nf^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {n}{n+k+1}\frac {x^k}{k!} \le \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{k!} = e^x }$

Επίσης για κάθε σταθερό

είναι $\displaystyle{nf^{(n)}(x)\ge \sum _{k=0}^{N} \frac {n}{n+k+1}\frac {x^k}{k!} }$ . Με άλλα λόγια

$\displaystyle{ \sum _{k=0}^{N} \frac {n}{n+k+1}\frac {x^k}{k!} \le nf^{(n)}(x)\le e^x }$

Παρατηρούμε ότι καθώς $n\to \infty$ το αριστερό μέλος τείνει στο $\displaystyle{ \sum _{k=0}^{N} \frac {x^k}{k!}}$ οπότε έχουμε, για κάθε

$\displaystyle{ \sum _{k=0}^{N} \frac {x^k}{k!} \le \liminf nf^{(n)}(x)\le \limsup nf^{(n)}(x) \le e^x }$

Επειδή το αριστερό μέλος τείνει στο e^x

έχουμε τελικά

$\displaystyle{e^x \le \liminf nf^{(n)}(x)\le \limsup nf^{(n)}(x) \le e^x }$ , δηλαδή ισότητα παντού. Και λοιπά.

(Για x<0

δεν το έκανα αλλά δεν βλέπω ουσιαστικό πρόβλημα).

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Κυρ Δεκ 16, 2018 10:47 pm

$\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}$

Από την παραπάνω βλέπουμε ότι

$\lim_{n\rightarrow \infty }f^{(n)}(x)=0$ (1)

Αλλά επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι

$e^{x}=(xf(x))^{(n+1)}=xf^{(n+1)}(x)+(n+1)f^{(n)}(x)$ (2)

Παίρνοντας $n\rightarrow \infty$

στην (2) και χρησιμοποιώντας την (1)

παίρνουμε την ζητούμενη.

Δηλαδή $l=e^{x}$

#4

Σταύρο, σωστά αλλά αν είναι να χρησιμοποιήσουμε την εναλλαγή ορίου και αθροίσματος
που χρησιμοποιείς εδώ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 12:32 pm
Από την παραπάνω βλέπουμε ότι

$\lim_{n\rightarrow \infty }f^{(n)}(x)=0$ (1)

τότε δεν χρειάζεται να κάνουμε τα παρακάτω. Μπορούμε ήδη να ολοκληρώσουμε
την απόδειξη από το προηγούμενο βήμα λέγοντας

$\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}$ άρα

$\displaystyle{nf^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {nx^k}{(n+k+1)k!}\to \sum _{k=0}^{\infty} 1 \cdot \frac {x^k}{k!} =e^x }$

και τελειώσαμε.

Ο λόγος που έκανα τα επόμενα βήματα ήταν ακριβώς για να μην επικαλεσθώ αλλά να αποδείξω την εναλλαγή.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #5

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 5:40 pm
Σταύρο, σωστά αλλά αν είναι να χρησιμοποιήσουμε την εναλλαγή ορίου και αθροίσματος
που χρησιμοποιείς εδώ

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 12:32 pm
Από την παραπάνω βλέπουμε ότι

$\lim_{n\rightarrow \infty }f^{(n)}(x)=0$ (1)
τότε δεν χρειάζεται να κάνουμε τα παρακάτω. Μπορούμε ήδη να ολοκληρώσουμε
την απόδειξη από το προηγούμενο βήμα λέγοντας

$\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}$ άρα

$\displaystyle{nf^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {nx^k}{(n+k+1)k!}\to \sum _{k=0}^{\infty} 1 \cdot \frac {x^k}{k!} =e^x }$

και τελειώσαμε.

Ο λόγος που έκανα τα επόμενα βήματα ήταν ακριβώς για να μην επικαλεσθώ αλλά να αποδείξω την εναλλαγή.

Όχι Μιχάλη δεν την πάτησα.
Είναι

$\displaystyle{\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}\leq \frac{1}{n} \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{k!}}=\frac{1}{n}e^{x}}$

#6

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 6:23 pm
Όχι Μιχάλη δεν την πάτησα.
Είναι

$\displaystyle{\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}\leq \frac{1}{n} \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{k!}}=\frac{1}{n}e^{x}}$

Σταύρο, ίσως σε ερμηνεύω λάθος αλλά η απόδειξή μου δεν λέει αυτό. Λέει,

αφού πολλαπλασιάσω επί

τον τύπο της $f^{(n)}$ , παίρνω όριο $n \to \infty$ . Δεν μπαίνει ανισότητα στον συλλογισμό.

Stelios V8 · #7

Έχουμε πως $f^{\left ( n \right )} \right \left ( x \right )= \sum_{k=0}^{\infty } \frac{1}{n+k+1}\frac{x^{k}}{k!}$ και $e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty } \frac{x^{k}}{k!}$ επομένως

$\left | nf^{\left ( n \right )} \right \left ( x \right )-e^{x}|\leq \sum_{k=0}^{\infty } \frac{k+1}{n+k+1}\frac{\left | x \right |^{k}}{k!}\leq \frac{1}{n+1}+\sum_{k=1}^{\infty } \frac{2k}{n+2}\frac{\left | x \right |^{k}}{k!}=$

$=\frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}\sum_{k=1}^{\infty } \frac{\left | x \right |^{k}}{\left ( k-1 \right )!}= \frac{1}{n+1}+\frac{2}{n+2}\left | x \right |e^{\left | x \right |}$

από την οποία έπεται το ζητούμενο παίρνοντας $n\rightarrow \infty$ .

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 7:20 pm

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: ↑
Δευ Δεκ 17, 2018 6:23 pm
Όχι Μιχάλη δεν την πάτησα.
Είναι

$\displaystyle{\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}\leq \frac{1}{n} \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{k!}}=\frac{1}{n}e^{x}}$
Σταύρο, ίσως σε ερμηνεύω λάθος αλλά η απόδειξή μου δεν λέει αυτό. Λέει,

αφού πολλαπλασιάσω επί τον τύπο της $f^{(n)}$ , παίρνω όριο $n \to \infty$ . Δεν μπαίνει ανισότητα στον συλλογισμό.

Μιχάλη δεν καταλαβαίνω.
Από την απόδειξη σου απλά πήρα ένα τύπο έτοιμο για να μην τον ξαναγράφω.
Και θεώρησα σωστό αυτό να φαίνεται.

Ξανά γράφω αναλυτικά την λύση μου και γράψε αν έχεις κάπου ένσταση.
(η μόνη διαφορά είναι ότι τώρα παίρνω υπ όψιν μου και τα αρνητικά)

Επαγωγικά μπορούμε να αποδείξουμε ότι

$\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}$

η οποία δίνει

$\displaystyle{\displaystyle|{f^{(n)}(x)|= |\sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}|\leq \frac{1}{n} \sum _{k=0}^{\infty} \frac {|x|^k}{k!}}=\frac{1}{n}e^{|x|}}}$

Από την παραπάνω βλέπουμε ότι

$\lim_{n\rightarrow \infty }f^{(n)}(x)=0$ (1)

Αλλά επαγωγικά μπορούμε να δείξουμε ότι

$e^{x}=(xf(x))^{(n+1)}=xf^{(n+1)}(x)+(n+1)f^{(n)}(x)$ (2)

Παίρνοντας $n\rightarrow \infty$

στην (2) και χρησιμοποιώντας την (1)

παίρνουμε την ζητούμενη.

Δηλαδή $l=e^{x}$

#9

Γράφω και εγώ πλήρη απόδειξη αρχίζοντας από το

$\displaystyle{f^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {x^k}{(n+k+1)k!}}$ . Είναι τότε (με εναλλαγή ορίου και άθροισης)

$\displaystyle{nf^{(n)}(x)= \sum _{k=0}^{\infty} \frac {n}{n+k+1}\frac {x^k}{k!} \to \sum _{k=0}^{\infty} 1\cdot \frac {x^k}{k!} = e^x }$ .

Τελειώσαμε.

Τείνουμε στην εκθετική

Τείνουμε στην εκθετική

Re: Τείνουμε στην εκθετική

Re: Τείνουμε στην εκθετική

Re: Τείνουμε στην εκθετική

Re: Τείνουμε στην εκθετική

Re: Τείνουμε στην εκθετική

Re: Τείνουμε στην εκθετική

Re: Τείνουμε στην εκθετική

Re: Τείνουμε στην εκθετική

Μέλη σε σύνδεση